?1ucosv??F,G???x,v?0usinv?usinv????u?u ?F,G?x??e?sinvucosve(sinv?cosv)?1??u,v?eu?cosvusinveu?sinv0??F,G???u,y?eu?cosv?1?veu?sinv ????u?u??F,G??ye?sinvucosvu[e(sinv?cosv)?1]??u,v?eu?cosvusinv4．设y?f(x,t),t?t(x,y)满足方程F(x,y,t)?0，f,F都有一阶连续偏导数. dyfx?Ft??ft?Fx?证明： ?. ???dxFt?ftFy证明：由方程组??t?t(x,y)确定隐函数t?t(x),y?y(x)。 ?y?f(x,t)?dt''dy?t?t'??t?t(x,y)dyfx'?ft'tx?dxxydx故由?得?，解得 ?''dx1?ftty?y?f(x,t)?dy?f'?f'dtxt?dx?dxFy'Fx''又t?t(x,y)方程F(x,y,t)?0确定，故t??'，ty??' FtFt'xFx'f?ft(?')'Ftfx?Ft??ft?Fx?dyfx'?ft'tx???则 '''???Fdx1?fttyFt?ftFy1?ft'(?y')Ft'x'6． 设z?f(u)，函数u?u(x,y)由方程u??(u)?? yP(t)dt确定，若?,f都可微， P为连续函数，证明： P(y) x?z?z?P(x)?0 ?x?y证明：由z?f(u)得?u?z?u?z?f'?u?，?f'?u?。 ?y?x?x?y?uP(x)?u?u???'(u)?P(x)即 '?x1??(u)?x?x方程u??(u)?? yP(t)dt两边关于x求导得， x方程u??(u)?? yP(t)dt两边关于y求导得，故 x?u?u?uP(y)??'(u)?P(y)，即?' ?y?y?y?(u)?1P(y)?z?z?u?u?P(x)?P(y)(f'?u?)?P(x)(f'?u?) ?x?y?x?yP(x)P(y)')?P(x)(fu)?0 ??''1??(u)?(u)?1?P(y)(f'?u?§6 多元函数微分学的几何应用 1． 求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）x?解tt2, y?, z?t2在点P(, ?2, 4)； 1?t1?t3dx1dy1dz2? ?，在点?2tP(, ?2, 4)处t?2， 223dt(1?t)dt(1?t)dt23故点P(, ?2, 4)处切向量为?切线：?12?(1?t)t?2,1(1?t)2t?2,2t??1?,1,4即??，故： t?2?9???9x?6y?2z?42，法平面：x?9y?36z?126?0； ??1143（2）y?x, z?x2在点(1, 1, 1)处； 解dxdydz?1?1?2x，在点(1, 1, 1)处x?1，在点(1, 1, 1)处切向量为?1,1,2? dxdxdxx?1y?1z?1，法平面：x?y?2z?4?0 ??112切线：??x2?y2?z2?3x?0（3）?在点(1, 1, 1)处. ?2x?3y?5z?4?法一：令F?x,y,z??x?y?z?3x，G?x,y,z??2x?3y?5z?4 222则??F,G?2y2z??10y?6z?35?(y,z)，??F,G?2z2x?3??4z?10x?1552?(z,x)，??F,G?2x?32y??9?6x?4y， 2?3?(x,y)故在点(1, 1, 1)处切向量为 ?10y?6z?1,11?,4z?10x?15?1,1,1?,9?6x?4y?1,1,1??即?16,9,?1? 切线：x?1y?1z?1，法平面：16x?9y?z?24?0. ??169?1法二：令F?x,y,z??x2?y2?z2?3x，G?x,y,z??2x?3y?5z?4，则 ''Fx'?2x?3，Fy'?2y，Fz'?2z，Gx?2，Gy??3`，Gz'?5 故曲面x?y?z?3x?0在(1, 1, 1)处法向量为 222?2x?3?1,1,1?,2y?1,1,1?,2z?1,1,1?,?即为n???1,2,2? 12x?3y?5z?4在(1, 1, 1)处法向量n2??2,?3,5?，故 n1?n2??16,9,?1? 故在点(1, 1, 1)处切向量为?16,9,?1? 切线：x?1y?1z?1，法平面：16x?9y?z?24?0 ??169?1222（注：曲线在(1, 1, 1)处的切向量为曲面x?y?z?3x?0，2x?3y?5z?4 在(1, 1, 1)处法向量的向量积） 2．求曲线x?t, y?t2, z?t3上的点，使该点的切线平行于平面x?z?4. 解：在点(t,t, t)处曲线的切向量为T?1,2t,3t2，又平面x?z?4的法向量为23??n??1,0,?1?，故 T?n?0，即1?3t2?0，解得t??故在(3。 3313313,,)及(?,,?)点处的切线平行于平面 3393393．证明：螺旋线x?acost, y?asint, z?bt上任何点处的切线与z轴成定角. 证明：切向量为??asint,acost,b?， 故切线与z轴所成角?的余弦为 cos??bb? 22222(?asint)?(acost)?ba?b故任何点处的切线与z轴成定角 4．求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程： （1）ez?z?xy?3，在(2, 1, 0)处； 令F(x,y,z)?e?z?xy?3则 zFx'?y，Fy'?x，Fz'?ez?1， 故在(2, 1, 0)处法向量为(y?2, 1, 0?,x?2, 1, 0?,ez?1?2, 1, 0?)，即?1,2,0? ?x?2y?1z?故切平面：x?2y?4?0，法线：??或?12 120?z?0?（2）x2?2y2?3z2?6，在(1, 1, 1)处. ''222令F(x,y,z)?x?2y?3z?6则Fx?2x，Fy'?4y，Fz?6z ?x?2y?1故在(1, 1, 1)处法向量为(2x?1, 1, 1?,4y?1, 1, 1?,6z?1, 1, 1?)，即?2,4,6? x?1y?1z?1. ??1235．在曲面z?xy上求一点，使该点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0 故切平面：x?2y?3z?6?0，法线：解：设满足题意的点为?x0,y0,z0?， 令F(x,y,z)?z?xy，则在点?x0,y0,z0?的法向量为??y0,?x0,1?， 平面x?3y?z?9?0的法向量为?1,3,1?。 点?x0,y0,z0?处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0，只需要点?x0,y0,z0?的法向量与平面x?3y?z?9?0的法向量平行。 这只需?y0?x01??，得x0??3,y0??1，又z0?x0y0得z0?3， 131故满足题意的点为（-3，-1，3） 7． 证明曲面xyz?a3(a?0)上任一点处切平面与各坐标面所围成的四面体体积为定值 证明：易知任意一点?x,y,z?处的法向量为?yz,xz,xy?， 则切平面方程为yz(X?x)?xz(Y?y)?xy(Z?z)?0， 3即yzX?xzY?xyZ?3a（注xyz?a） 33a33a33a3所以截距分别为，，， yzxyxz113a33a33a39a99a99a3)???故四面体体积为(，为定值。 32yzxzxy2(xyz)22(a3)228． 试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为a 证明：易知任意一点?x,y,z?处的法向量为??111,,?2x2y2z?? ???则切平面方程为111(X?x)?(Y?y)?(Z?z)?0， xyz即111X?Y?Z?a（注x?y?z?a） xyz 所以截距分别为ax,ay,az 截距和ax?ay?az?a(x?y?z)?aa?a §7 方向导数与梯 1． 求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数 （1）z?3x4?xy?y3在(1, 2)处沿从(1, 2)到(0, 3)方向； 解：方向l??0?1,3?2????1,1?， 故cos???1??1?2?12??2，cos??2?z?y1??1?2?12?1,2??2 2又?z?x?1,2??12x3?y?1,2??14，?1,2??x?3y2?13 ?z222???14??13?? ?l222（2）u?x2?y2?z2在点(1, 0, 1)，沿l?(1, ?1, 1)的方向导数由l?(1, ?1, 1)得cos???u； ?l112???1??123 3?22?z?z2?3?13，cos??，??222331???1??1cos???z?x112???1??12?xx?y?z222?(1, 0, 1)2(1, 0, 1)，?z?y(1, 0, 1)?yx?y?z222(1, 0, 1)?0(1, 0, 1)?zx?y?z222(1, 0, 1)?2， 2
同济六版高数练习册答案第八章多元函数微分法及其应用
