清华版线性代数课件线性代数§

例2计算 n 阶行列式副对角线以上的元素全为0 其中 表示元素为任意数 解由定义有 递推关系递推公式 由以上结论容易得到 四n 阶行列式的性质 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式 记 性质1 行列式的行与列互换其值不变 即 DT D 性质1说明行列式对行成立的性质都适用于列 下面仅对行讨论 由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到 上三角行列式 主对角线以下的元素全为0 的值等于主 对角元的积即 性质2 行列式按任一行展开其值相等即 其中 是 D 中去掉第 i 行第 j列的全部元素后剩下的元素 按原来的顺序排成的 n－1 阶行列式称为 的余子式 称为 的代数余子式 即 性质3 线性性质 1行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数 k 乘此行列式 2 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 那么该行列式可以写成两个行列式的和例如 1 若行列式的某一行 列 的元素都是 n 个数之和那么该行列式可以写成 n 个行列式的和 例如 说明 2 若行列式的某 m 行 列 的元素都是 两 例如 说明 个数之和那么该行列式可以写成 个行列式的和 由性质3马上得到 推论1 某行元素全为零的行列式其值为零 性质4 行列式中两行对应元素全相等其值为零 对行列式的阶数用数学归纳法证明 证明 当D为二阶行列式时结论显然成立 假设当 D 为 n－1 阶行列式时结论成立 设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等 则当D为 n 阶行列式时将D 按第k 行展开得 其中 为 k－1 阶行列式 且有两行元素对应相等 故 由归纳假设知 推论2 行列式中两行对应元素成比例其值为零 由性质 3 和性质 4 马上得到 性质5 在行列式中把某行各元素分别乘以数 k再加

到另一行的对应元素上行列式的值不变 对行列式做倍加行变换其值不变即 在行列式的计算中性质35以及下面的性质6经常 用到为书写方便我们先引入几个记号 用 表示第 i 行 表示第 i 列 交换行列式的第 i j 两行 列 记作 把行列式的第 j 行 列 的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行 列 对应的元素上去 记作 行列式的第 i 行 列 乘以数k 记作 注意 和 含义不同 性质6 反对称性质 行列式的两行对换行列式的值反号 证明 课程简介 线性代数是代数学的一个分支主要处理线性关系 问题 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的 最简单的线性问题就是解线性方程组 行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具 也推动了线性代数的发展 向量概念的引入形成了向 量空间的概念而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论 因此向量空间及其线性变换以及与此相联系 的矩阵理论构成了线性代数的中心内容 它的特点是研究的变量数量较多关系复杂方法上 既有严谨的逻辑推证又有巧妙的归纳综合也有繁 琐和技巧性很强的数字计算在学习中需要特别加 强这些方面的训练 第一章 行列式 第二章 矩阵 第三章 线性方程组 第四章 向量空间与线性变换 基础 基本内容 用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容 第五章 特征值与特征向量 第六章 二次型 矩阵理论 中心内容 参考及辅导书目 1《线性代数学习指南》 居余马 林翠琴 编著 清华大学出版社 2《线性代数》 第四版 同济大学应用数学系编 高等教育出版社 一二阶行列式的引入 用消元法解二元 一次 线性方程组 §11 n阶行列式的定义与性质 1 2 1 a22 a11a22x1 a12a22x2 b1a22 2 a12 a12a21x1 a12a22x2 b2a12 两式相减消去x2 得 a11a22 – a12a21 x1 b1a22 – b2a12 当 a11a22 – a12a21 0时 方程

组的解为 由方程组的四个系数确定 3 类似地 消去x1 得 a11a22 – a12a21 x2 b2a11 – b1a21 若记 4 则方程组的解3可以表示为 称 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算对角线法则 ad – bc 为二阶行列式 对于二元线性方程组 D称为线性方程组 1 的系数行列式 若记 1 注意 分母都为原方程组的系数行列式 则该二元线性方程组的解 3 式 3 可表示为 例1 解二元线性方程组 解 3 ––4 7 0 并称它为三阶行列式横为行竖为列

二三阶行列式 定义 列标 行标 对于由9 33 个元素

排成3行3列的式子 i为行标j为列标 1 沙路法 三阶行列式的计算 即 2 对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元 素的乘积冠以负号． 例2 计算三阶行列式 解 按对角线法则 有 D 12 –2 21 –3 –4 –2 4 ––4 2 –3 – 2 –2 –2 – 114 –4 – 6 32 – 24 – 8 – 4 –14 对于三元线性方程组 如果其系数行列式 那么可求得方程组的解为 其中 是用常数项 替换 D 中的 第 j 列所得到的三阶行列式 即 说明2 二阶行列式包括2项 每一项都是位于不同行 不同列的两个元素的乘积 其中一项为正 一项为负 三阶行列式包括3项 每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正 三项为负 说明1 对角线法则沙路法只适用于二阶与三阶行列式． 说明3 对于nn 3阶行列式不能用沙路法定义 例3 求解方程 解 方程左端为一个三阶行列式 其值为 D 3x2 4x 18 – 12 – 2x2 – 9x x2 – 5x 6 由D x2 – 5x 6 0 解得 x 2 或 x 3 对于一阶行列式我们规定 这里 是行列式符号不是绝对值符号 问题如何定义一般的 n 阶行列式 n 阶行列式一般有三种定义方式第一种是抽象定 义方法可以查阅同济大学线性代数教

材第二种是公 理化定义方法第三种就是本教材所采用归纳定义法 方法 首先对于三阶行列式我们可以用二阶行列式来表示它 这里 分别称为元素 的余子式并分别称 为元素 的代数余子式于是 余子式 的余子式就是在 D 中去掉 所在的行 与列后由剩下的元素按原来的次序排列成的低一阶的 行列式 代数余子式 的代数余子式就是在 的余子式前 加上符号 例如 对于二阶行列式 同样也有 从上面的分析可以看到如果分别把 看作二阶行列式和三阶行列式的定义那么这种定义 方式是统一的即用低阶行列式定义高一阶的行列式 下面我们就用这种

方法给出行列式的归纳定义 和 三n 阶行列式的定义 定义 由 个数 组成的 n 阶行列式 是一个算式 当n＝1 时定义 当 时定义 其中 称 为元素 的余子式 为元素 的代数余子式 说明 所在的对角线称为行列式的主对角线 称为主对角元 项且带正号的项和带负号的项各占一半每一项都是 不同行不同列的 n 个元素的积 2n 阶行列式由 个元素构成其

展开式中共有 例1证明 n 阶下三角行列式的值为 n 个主对角元的 乘积即 主对角线以上的元素全为0即当 i j 时 证明对 n 用数学归纳法 下三角行列式 1 当 n 2 时 结论成立 2 假设结论对 n－1 阶下三角行列式成立

那么 对于 n 阶下三角行列式由定义有 故所证结论成立 n 阶对角线行列式 主对角线以外的元素全为0即当 对角线行列式 是下三角行列式的特例故也有

i j 时