课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
授课类型：新授课 【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力； 3．情态与价值：通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣. 【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学难点】
【教学过程】
1.课题导入 1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究,让学生经历建立线性规划模型的过程. 在获得探究体验的基础上,通过交流形成共识：
2.讲授新课 1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元. （把文字语言 转化 符号语言）
（资金总数为25 000 000元）?x?y?25000000 （1） （预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%,共创收30 000元以上）
?(12%)x+(10%)y?30000 即12x?10y?3000000
（2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?x?0,y?0 （3） 将（1）（2）（3）合在一起,得到分配资金应满足的条件：
?x?y?25000000??12x?10y?3000000 ?x?0,y?0?2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. （3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序
实数对（x,y）,所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数对就可以看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内,二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形.
如图：在平面直角坐标系内,x-y=6表示一条直线.平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.
设点是直线x-y=6上的点,选取点,使它的坐标满足不等式x-y<6,请同学们完成课本第93页的表格,
横坐标x 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2 -3 -2 -1 0 1 2 3 并思考： 当点A与点P有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说,直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流,达成共识：
在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来,直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6.
因此,在平面直角坐标系中,不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图. 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图. 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式x?4y?4表示的平面区域.
解：先画直线x?4y?4（画成虚线）. 取原点（0,0）,代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在x?4y?4表示的平面区域内,不等式x?4y?4表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.特殊地,当C?0时,常把原点作为此特殊点.
变式1、画出不等式4x?3y?12所表示的平面区域. 变式2、画出不等式x?1所表示的平面区域.
例2 用平面区域表示.不等式组??y??3x?12?x?2y的解集.
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不
等式所表示的平面区域的公共部分.
解：不等式y??3x?12表示直线y??3x?12右下方的区域,x?2y表示直线x?2y右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式1、画出不等式(x?2y?1)(x?y?4）?0表示的平面区域.
变式2、由直线x?y?2?0,x?2y?1?0和2x?y?1?0围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .
3.随堂练习 1、课本第97页的练习1、2、3
4.课时小结 1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计 课本第105页习题3.3[A]组的第1题 【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日
（星期 ）
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第2课时
授课类型：新授课 【教学目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新.
【教学重点】
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】
把实际问题抽象化,用二元一次不等式（组）表示平面区域. 【教学过程】
1.课题导入 [复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点）. 随堂练习1
1、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
?x?y?5?0?2、画出不等式组?x?y?0表示的平面区域.
?x?3?2.讲授新课 【应用举例】
yx+y=055B(-,)22x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件. 解：设开设初中班x个,开设高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20-30之间,所以
有20?x?y?30
考虑到所投资金的限制,得到26x?54y?2?2x?2?3y?1200 即 x?2y?40 另外,开设的班数不能为负,则x?0,y?0 把上面的四个不等式合在一起,得到：
?20?x?y?30?x?2y?40? ?x?0??y?0?用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件：
?4x?y?10?18x?15y?66? ?x?0??y?0?在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）.
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) (x?y)(x?y?1)?0； (2) x?y?2x
分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性,由x?2x,得x?0,又用
?y代y,不等式仍成立,区域关于x轴对称.
解：(1)??x?y?0?x?y?0矛盾无解,故点(x,y)在一带形区域内?0?x?y?1或??x?y?1?0?x?y?1（含边界）.
(2) 由x?2x,得x?0；当y?0时,有?当y?0,由对称性得出.
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
?x?y?0点(x,y)在一条形区域内(边界)；
?2x?y?0
（高中数学教案）高二人教a版必修5系列教案：3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题2
