1.2椭圆的简单性质
03课时 跟踪训竦? --------------------------------------------------------
[A组基础巩固]
x y
1 ?已知椭圆25 + m = 1(n>0)的左焦点为Fi( — 4,0)，贝y ( A. 2 C. 4
解析：利用椭圆的标准方程及性质求解.
由左焦点为 Fi( — 4,0)知c = 4.又a= 5，二25 —吊=16,解得 m= 3或一3.又m>0,故 m= 3.
答案：B
B. 3 D. 9
)
2 2
x y
2 .已知k<0,则曲线—+ — = 1和
2 2
I
9—k +
=1有相同的(
A.顶点 C.离心率
B.焦点 D.长轴长
解析：c1= 9 — 4= 5，且焦点在 x轴上；c2= (9 — k) — (4 — k) = 5,且焦点在 x轴上. 答案：B
x y
3.已知椭圆4 + 2 = 1的两个焦点分别是 F,巨点P在椭圆上，若|PF| — |PF| = 2，则 △ PFF2的面积是(
A. 3 + 1 C. 3
2 2
)
B. 2 + 1 D. 2
解析：由题意得|PF| + |PFa| = 4,焦距2c = 2灵. ???|PF| T PR| = 2,「.|PF| = 3, | P冋=1.
2
厂 2
2
?/ 1 + (2 ,2) = 3 ,
???△ PFF2是直角三角形，且 PR丄F1F2, ???△ PFF2 的面积为］PR| X| F1F2I =
答案：D
1 X2 Q2 =Q2，故选 D.
x y
4 .设F1, F2是椭圆E： — + 2 = 1( a>b>0)的左、右焦点,
2 2
P为直线x =字上一点，△ F2PF
-1 -
a b
是底角为30°的等腰三角形，则
E的离心率为( )
-2 -
A.!
B.3 4
C.
4
解析：由题意可得 | PF| = | F1F2I ,? 2 3a- c = 2c. 3
??? = 4c. ??? e= 4.
3a
答案：C
5 .以 Fi( - 1,0)、F2(1,0) 为焦点且与直线 x - y+ 3= 0有公共点的椭圆中，离心率最大的 椭圆方程是(
)
x y
2 2
x y
2 2
A.— + = 1 20 19 B. — + = 1 9 8
x y
C.5 + 4 = 1 5 4
2
2 2
x
解析：设椭圆方程为 2 + y 1(a>1)，由$
2a a- 1
2 2
.=1
a - 1 lx-y + 3 = 0
得(2 a2- 1)x2+ 6a2x + (10a2-a4) = 0，由0,得 a> .5,
?- e=￡=’w￥，当a=
a a 5
2
2
5时，e取得最大值，
■
此时椭圆方程为7 + y = 1.
5 4 答案：C
6 .椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是 解析：由题意2b>2c,即b>c，即.a2-
c2>c,
? a2-c2>c2，贝U a2>2c2. ?器冷,? Ovev#. 答案:
7 .焦点在x轴上，长、短轴之和为 20,焦距为4砺，则椭圆的标准方程为 ____________ .
2 2 2 2 2 2
解析：由题意知 a+ b= 10, c = 2 ,5，又??? a = b + c ,? a = (10 -a) + c = 100-20a+
2 2
x y
+%= 1. 36 16
a + 20.即a= 6,「. b= 4.又???椭圆的焦点在 x轴上，?椭圆的标准方程为
答x y ’
+ L — 案： 1 36 16
2 2
-3 -
8 ?设椭圆
a2 b2 =1( a>b>0)的一个焦点
+
F(2,0)，点A — 2,1)为椭圆E内一点，若椭
圆E上存在一点P,使得| PA + | PF = 8,则椭圆E的离心率的取值范围是 _________________ ?
解析：记椭圆的左焦点为 Fi( — 2,0)，则|AF| = 1.
9
?/ | PF| <| PA + | AF| ,??? 2a= | PF| + | PF <| PA +1 A冋 + | PF = 1 + 8 = 9,即卩 a<空 丁 | PF| >| PA T AF| , ? 2a = | PF| + | PF|》丨 PA T AF| + | PF = 8 — 1= 7,即即 a>7. ?/ c= 2, 2 C 2 4 4
? |w『7,即4三ew 7椭圆E的离心率的取值范围是|石 2 2
-4
~4 4
答案：〔9, 7
9.已知椭圆的长轴长是短轴长的 3倍, 且过点A(3,0) ，并以坐标轴为对称轴，求椭圆的
标准方程.
'2a = 3X2 b,
解析：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为
2
+ 2= 1( a>b>0).由题意得：
a b
9 0 g+ 芦1,
a= 3, 解得
^= 1.
X 2
?椭圆方程为—+ y =1;
2a= 3X2 b,
若椭圆的焦点在 y
轴上，设方程为 書+右=1(a>b>0),
由题意得 0
2
2
a b
a= 9,
2 2
+ 2= 1 ,
9 解得
b= 3.
?椭圆方程为 81
2
2
r- + X = 1.综上所述，椭圆的方程为
9
x b2= 1(a>b>0)的焦点分别为F1, F2,
10.已知椭圆C： ~2 +
a =0,求椭圆的离心率的取值范围.
如果椭圆上存在点 M使MF - MF
解析：设点 Mx, y),使MF- MF= 0,由于 R( — c, 0) , F2( c, 0) , MF= ( — c — x, — y) , MF =(c — x, — y),
2 2 2 2
2
2
--(一 c一 x)( c 一 x) + ( 一 y) = 0, - - x + y = c .
x y
又点Mx , y)在椭圆g+ b^= 1上，
-4 -
”X2+ y2= c2
■??由 x2 y2
+= a2 b^1
,
k
消去 y,并整理得(a2— b2)x2= a2(c2-b2),
2 2.2
??? X2 =
a c —2 >0,即卩 c2— b2= 2c2— a2>0,
a — b
?討2，即介2,
? ee [#, 1) ■
[B组能力提升]
x y
1.过椭圆C： -^-= 1的左焦点F作倾斜角为60°的直线I与椭圆C交于
4 3
2 2
A B两点,
1
(
両等于 |AFT+ 1 4 A.3
C.
3 B.4 D.5
5
解析：由已知得直线I : y = 3( x + 1).
y= 3x1
+ 8
5
联立』x2 y2 ，可得A(0,护),B(—-,
a+ 3=1
6 又 F( — 1,0) , ? |AF = 2, |BF =-, 5
1 1 4 --- + ----- =— 丨 AF 十 | BF 3. 答案：A
2 2
2 .过椭圆C：二+ y^= 1( a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆 C于另
a b
个交点B,
且点B在x轴上的射影恰好为右焦点
1 4 代4, 9
F,若3 ( ) 1 解析：由题意，知点B的横坐标是c,故B的坐标为 (b2) ? Bc, 7 . -5 -
高中数学第三章圆锥曲线与方程1椭圆1.2椭圆的简单性质课时跟踪训练北师大版选修2_1
