专题五：均值不等式与最值、放缩法
基础梳理
1 ?常用的基本不等式和重要的不等式:
(1) a R,a 0, a 0当且仅当a 0取“ ”号;
(3) a,b,c R，则 a b c ab bc ca 2.均值不等式：
2
2
2
2
2 2 (2) a,b R,则a b 2ab ；
两个正数的均值不等式： 色卫 ..ab ；
三个正数的均值不等式：
a b c 3
abc ;
2
n个正数的均值不等式:
3
an
n
n
a〔 a 2
aia2
an
3 ?四种均值的关系:
(1)两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是:
a b
a
2
b
2
(2)三个正数a、b、c的调和平均数
3
几何平均数算术平均数平方平均数:
abc
abc 3
小结：“算数平均数 几何平均数”的多种表达形式:
整式形式 根式形式 分式形式 倒数形式 a b 2ab a b 2 a，b R ab22a b屈 2 (a,b R ) ( 2) 1 a — 2(a 0) a 1 a — 2(a 0) a b c 3abc abc 3/-r— >/abc 3 a b c 3 a,b,c R abc (3 ) (a,b,c R ) 3 金a丨b 333宣b | a (a b)(丄 2) a b 4(a,b R ) 丄 2 金a | b 壬b | a dn )
4.均值不等式求最值:
(1) 如果x, y 如果x, y, z R
R ,xy
P （定值），由—
，当x ，当x y
，当 ，当
,xyz P （定值），由 ___
(2) 如果x,y R ,x
y S （定值），由 z 如果x, y, z R
,x y
S （定值），由_
x
利用均值不等式求最值必须注意：
“一正、二定、三相等”。三者缺一不可!
能力巩固 考点一：均值不等式与最值
2
1.已知x, y, z R， x 2y 3z 0,则—的最小值 _________________________
xz
2.设 x 0, y 0,x y 1，、: x
，:y最大值是（
」 2 1 1 1 (a b c)(一 --)9 abc (a,b,c R ) i---
A. 1 B. 、2
C.
寸2
f~
D.
2
3
— 2
3.已知a 0,b 0,且a b 2，若S a b
1 22
2届，则S的最大值为 _________________
4.已知x,y都在区间（2,2）内，且xy 1，则函数u
4 4 x2
A. A
8 B
_ 5
r ?24
C
12 11
7
5.若a是甘2 b与J b的等比中项，贝U
2ab
的最大值为（
|a| |b|
、2
A. .2
B. 1
C. D.
4
6.设M是 ABC内一点
,且
2^3
BAC 1
1 4 若f(M) (—,x,y),贝V
的最小值是
2
x y
9 FT
的最小值是（
12 5
)
?、2
2
专题五：均值不等式与最值、放缩法
