第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、概念
定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域
??1,??2,L,??n，其中??i表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个??i上任取一点
(?i,?i)，作乘积f(?i,?i)??i(i?1,2,L,n)，并作和
?f(?,?)??iii?1ni，如果当各小闭区域的
直径中的最大值?趋于零时，此和式的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作??f(x,y)d?，即??f(x,y)d??lim?f(?i,?i)??i，其中f(x,y)称为被
??0DnDi?1积函数，f(x,y)d?称为被积表达式，d?称为面积元素，x与y称为积分变量，D称为积分区域，?f(?i,?i)??i称为积分和.
i?1n注：d?=dxdy 二、性质
性质1（线性性质）：设?、?为常数，则
[?f(x,y)??g(x,y)]d?????f(x,y)d?????g(x,y)d? ??DDD性质2（区域可加性）：若闭区域D被曲线分割为两个闭区域D1和D2，则
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?
DD1D2性质3：若在闭区域D上，f(x,y)?1，?为D的面积，则??1d????d???
DD性质4（比较定理）：若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则有??f(x,y)d?≤??g(x,y)d?
DD性质5（估值定理）：设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，?是D的面积，则有m?≤??f(x,y)d?≤M?
D性质6（二重积分的中值定理）：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，?是D的面积，则在D上至少存在一点(?,?)，使得??f(x,y)d??f(?,?)??
D例：比较二重积分??ln(x?y)d?与???ln(x?y)?d?的大小，其中D是三角形闭区域，
D2D三定点分别为(1,0),(1,1),(2,0)
1
2解：在D上1?x?y?2，则0?ln(x?y)?ln2?lne?1．故ln(x?y)??ln(x?y)?, 所以由性质4得??ln(x?y)d?????ln(x?y)?d?
DD2例：估计二重积分
??(x?3y?7)d?的值，其中0?x?1, 0?y?2
D解：因为在D上有7?x?3y?7?14，而D的面积为2，由性质5可得
7?2???(x?3y?7)d??14?2,即14???(x?3y?7)d??28
DD
y 2 1 x?y?1 x?y?2 O 1 2 x 2
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X型区域：特点是穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点. 先对y后
对x的二次积分
??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy
Y型区域：特点是穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.先对x后对
y的二次积分
??f(x,y)d???Ddcdy??2(x)?1(x)f(x,y)dx
既不是X型区域，又不是Y型区域，此时可将D分成几个部分，使每个部分是X型或是Y型区域.
若积分区域D既是X型
??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy??dy?cd?2(x)?1(x)f(x,y)dx
例：计算??xyd?，其中D是由直线x?2、y?1及y?x所围成的闭区域
D解：首先画出积分区域D，显然D既是X型的，又是Y型的
如果将D看成是X型的，则
??xyd???????D12x1xydy?dx???1?232x?y2??x4x2?x9x?dx?(?)dx??? ?????1224?18?2?1?8x2 3
2如果将D看成Y型的，则
??xyd???????D1D22yxydx?dy???1?22?x2??2y4?y39y?dy?(2y?)dy?y?? ?????12288??y??12例：计算??xyd?，其中D是由抛物线y2?x及直线y?x?2所围成的闭区域 解：如果将D看成Y型的，则
xyd????????1??yD2y?22?x2?12?xydxdy????y?dy??[y(y?2)2?y5]dy??12?2?1??y222y?2
1?y443y6?452???y?2y??? 2?436??18
如果将D看成X型的
x4?x??xyd????xyd????xyd?????xydy?dx????xydy?dx ???0??x1?x?2??DD1D21 siny dxdy，其中D是由曲线y?x以及x?y2所围成的闭区域 例：计算??yD 1 x siny siny dxdy?dxdy 解：如果将D看成X型的，则有???? 0 xyyD由于
siny 的原函数不是初等函数，因此积分y? x x siny dy无法计算. y如果将D看成Y型的，则有
1 y siny 1? siny ? siny dxdy?dydx?x? dy ?????? 0 y2 0yyy?? y2D y 4
1 11
1???siny?ysiny? dy?? 0sinydy??0ysinydy ??cos1?cos0??0ydcosy 010=?cos1?1?[ycosy]10??cosyd y?1?sin1
例：改换二次积分?dy?f(x,y)dx的积分次序
001y解：
?10dy?f(x,y)dx??dx?f(x,y)dy
00xy11
5
同济七版第十章电子教案
