b，A，求c时，除用正弦定理
asinAsinC＝c外，也可用余弦定理a＝b＋c－2abcosA求解．
2
2
2
222
14．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，已知b＋c＝a＋bc. (1)求角A的大小；
(2)若2sin＋2sin＝1，试判断△ABC的形状．
22π
答案 (1) (2)等边三角形
3
解 (1)在△ABC中，∵b＋c＝a＋bc，
2
2
2
2
B2
Cb2＋c2－a2bc1
∴cosA＝＝＝.
2bc2bc2
π
∵A∈(0，π)，∴A＝. 3(2)∵2sin＋2sin＝1，
22∴1－cosB＋1－cosC＝1.
2π
∴cosB＋cosC＝1，即cosB＋cos(－B)＝1，
32π2π
即cosB＋coscosB＋sinsinB＝1，
33即
31π
sinB＋cosB＝1，∴sin(B＋)＝1. 226
2
B2
Cππ7πππ∵0 66662ππ ∴B＝，C＝.∴△ABC为等边三角形． 33 15．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－3)， Bn＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n. 2 (1)求锐角B的大小； (2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值． π 答案 (1) (2)3 3 解析 (1)m∥n?2sinB(2cos－1)＝－3cos2B?2sinBcosB＝－3cos2B?tan2B＝ 2－3. 2ππ ∵0<2B<π，∴2B＝，∴B＝. 33 2 B(2)已知b＝2，由余弦定理，得： 4＝a＋c－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)． 13 ∵△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝ac≤3， 24∴△ABC的面积S△ABC的最大值为3. 2 2 1．(2020·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于( ) A．150° C．60° 答案 D 解析 由正弦定理得 121＝，得sinA＝. sinAsin45°2 B．90° D．30° 又a 2．(2020·郑州质测)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( ) A．60° C．120° 答案 C 解析 ∵在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c， ∴a∶b∶c＝1∶1∶3. 设a＝b＝k，c＝3k，则cosC＝∴C＝120°，故选C. 3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案 C B．90° D．135° k2＋k2－3k2 2×k×k1 ＝－， 2 a2＋b2－c222 解析 因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得：a＝2b×，整理得b＝c，则此 2ab三角形一定是等腰三角形． 4．(2020·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin C＋cos C＝1－sin. 2 (1)求sin C的值； (2)若a＋b＝4(a＋b)－8，求边c的值． 3 答案 (1) (2)7＋1 4 解析 (1)由已知得sin C＋sin ＝1－cos C，即sin(2cos＋1)＝2sin， 2222 2 2 CCCC2 CCCCCC1 由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝， 222222 3两边平方整理得：sin C＝. 4 CC1πCππ37 (2)由sin －cos＝>0得<<，即 222422244 由a＋b＝4(a＋b)－8得：(a－2)＋(b－2)＝0，则a＝2，b＝2， 由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝8＋27，所以c＝7＋1. 5．(2020·湖北)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，1 cos C＝. 4 (1)求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值． 11 答案 (1)5 (2) 16 1222 解析 (1)∵c＝a＋b－2abcos C＝1＋4－4×＝4. 4∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1541215asin C1－＝.∴sin A＝＝＝ 44c2 2 2 2 2 2 2 2 12 (2)∵cos C＝，∴sin C＝1－cosC＝ 415. 8 ∵a 2 1－ 158 2 7＝， 8 71151511 ∴cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝×＋×＝. 848416 1．(2020·温州五校联考)在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a＋b－c＋2ab＝0，则角C的大小为________． 答案 3π (或135°) 4 2 2 2 解析 在△ABC中，由余弦定理得： a2＋b2－c2222 cosC＝，而a＋b－c＝－2ab， 2ab－2ab23π ∴cosC＝＝－.∴角C的大小为. 2ab24 2．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且2cos＋cosA＝0. 2(1)求角A的值； (2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积． 12A解 (1)由2cos＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－，∵角A为△ABC的 222π 内角，∴A＝. 3 2π222 (2)由余弦定理得，a＝b＋c－2bccosA，A＝， 3则a＝(a＋c)－bc， 又a＝23，b＋c＝4，有12＝4－bc，则bc＝4. 1 故S△ABC＝bcsinA＝3. 2 3．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝3，2cos 2 2 2 2 2 AA＋C2 ＝(2－1)cosB，________，求角A. 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程． 思路 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b＝2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确． 解析 将A＝60°看作已知条件， 由2cos 2 A＋C2 ＝(2－1)cosB，得cosB＝ 2 ，∴B＝45°. 2 由 ＝，得b＝2. sinAsinB2＋6 . 4 ab又C＝75°，得sinC＝sin(30°＋45°)＝由 ＝，得c＝sinAsinCac2＋6 . 2 若已知条件为b＝2，且由已知得B＝45°， ab3则由＝，得sinA＝， sinAsinB2 ∴A＝60°或120°不合题意． 若已知条件为c＝ 2＋6222 ，则b＝a＋c－2accosB， 2 b2＋c2－a21 ∴b＝2，cosA＝＝，∴A＝60°. 2bc2 综上所述，破损处的已知条件为c＝4．已知函数f(x)＝ 2＋6 . 2 312 sin2x－cosx－，x∈R. 22 (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期； (2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值． 解 (1)∵f(x)＝ 31＋cos2x1πsin2x－－＝sin(2x－)－1，∴函数f(x)的最小值是－2226 2π 2，最小正周期是T＝＝π. 2 ππ (2)由题意得f(C)＝sin(2C－)－1＝0，则sin(2C－)＝1，∵0 66ππ11πππ ∴－<2C－<π，∴2C－＝，C＝， 666623 1sinA∵向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，∴＝， 2sinBa1 由正弦定理得，＝，① b2 π22222 由余弦定理得，c＝a＋b－2abcos，即3＝a＋b－ab，② 3由①②解得a＝1，b＝2. 5．(2020·大纲全国文)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十三) 理 新人教版
