双曲线 1.设双曲线
的实轴长为
,焦点到渐近线的距离为
．
求此双曲线的方程； 已知直线
与双曲线的右支交于A,B两点,且在双曲线的右支上存在点C,使得
,求m的值及点C的坐标．
【答案】解：由实轴长为
,即
,得, 或
,
所以渐近线方程为
取渐近线方程为焦点到渐近线的距离为
,
,
,
又
,
,
双曲线方程为：；
设则
,,
,, ,
,
由直线与双曲线方程联立,可得
,
,
,解得,,
, ,
2.已知双曲线C：
．
及直线l：
．
若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围； 若l与C交于A,B两点,且AB中点横坐标为【答案】解：
由
得
,求AB的长．
,
双曲线C与直线l有两个不同的交点, 则方程
有两个不同的实数根,
,解得
且
．
所以若C与l有两个不同交点,k的取值范围是设交点由
得
,
, ,即
,
解得：．
且
．
3.已知椭圆C：,离心率为,左右焦点分别为,,过的直线交椭圆
C于M、N两点,且Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ若
,求
的周长为8．
的面积．
【答案】 解：Ⅰ由题得：
,
,
,
又
,椭圆C的方程为
；
Ⅱ设直线MN的方程为,联立,得设
M、N的坐标分别为则
,,
,
,
联立解得：．
．
4.已知双曲线的离心率为,实轴长为2．
Ⅰ写出双曲线的渐近线方程；
Ⅱ直线
与双曲线右支交于不同的两点,求实数k的取值范围．
,
,
【答案】解：Ⅰ由已知有
所以
,
所以双曲线方程为
,
渐近线方程为
Ⅱ设两焦点坐标分别为,,
联立,消去y得,
由已知
,
因为直线
与双曲线右支交于不同的两点,
所以
解得
．
5.已知双曲线的左、右顶点分别为A、B,曲线C是以A、B为短轴的两端点且离
心率为的椭圆,设点P在第一象限且在双曲线上,直线AP与椭圆相交于另一点T．
Ⅰ求曲线C的方程；
Ⅱ设点P、T的横坐标分别为、,证明：Ⅲ设
与
；
,求
其中O为坐标原点的面积分别为与,且
的取值范围．
【答案】解：Ⅰ设椭圆的方程为,,
依题意可得所以
,
,,
因为椭圆的离心率为,
所以,
即,
；
椭圆方程为
Ⅱ设点、
,
,
,直线AP的斜率为,
则直线AP的方程为联立方程组
整理,得解得
或
所以
, ．
同理可得,．
所以Ⅱ解：设点则因为
．
、,,所以
,所以
,
,即
,即
, ．
,
因为点P在双曲线上,则
双曲线的讲解
