专题限时集训(二十三)坐标系与参数方程 不等式选讲
A组 高考题体验练]
??x＝acos t，
中，曲线C1的参数方程为?
?y＝1＋asin t，?
1．(选修4-4)在直角坐标系xOy
(t为参
数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x＋(y－1)＝a，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.3分
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin
2
2
2
2
θ＋1－a2＝0.5分
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
??ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，
?
?ρ＝4cos θ.?
2
2
2
2
6分
2
若ρ≠0，由方程组得16cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0，7分 由已知tan θ＝2，可得16cosθ－8sin θcos θ＝0，8分 从而1－a＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.9分 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1.10分
(选修4-5)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1的解集．
2
图23-1
?3?3x－2，－1＜x≤，
2解] (1)由题意得f(x)＝?
3
－x＋4，x＞，??2
故y＝f(x)的图象如图所示．
x－4，x≤－1，
2分
5分
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；6分 1
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.7分
3故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，8分
???1
f(x)＜－1的解集为?x?x＜或x＞5
3???
??
?.9分 ??
???1
所以|f(x)|＞1的解集为?x?x＜或1＜x＜3或x＞5
3???
??
?.10分 ??
2
2
2．(选修4-4)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)＋y＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
??x＝tcos α，
(2)直线l的参数方程是?
?y＝tsin α?
(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，
求l的斜率．
【导学号：85952087】
解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ＋12ρcos θ＋11＝0.2分
(2)法一：由直线l??x＝tcos α，的参数方程?
??y＝tsin α2
(t为参数)，消去参数得y＝x·tan
α.4分
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)＋y＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.5分
2
2
又|AB|＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得90
＝，8分 4
|－6k|1＋k2
＝
36k?10?2
25－??，即1＋k2
?2?
2
515152
整理得k＝，解得k＝±，即l的斜率为±.10分
333
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).3分 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ＋12ρcos α＋11＝0，4分
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.5分 |AB|＝|ρ1－ρ2|＝
2
2
ρ1＋ρ2
2
－4ρ1ρ2
＝144cosα－44.7分
3152
由|AB|＝10得cosα＝，tan α＝±.9分
83所以l的斜率为
1515或－.10分 33
?1??1? (选修4-5)已知函数f(x)＝?x－?＋?x＋?，M为不等式f(x)＜2的解集．
?2??2?
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
??11
解] (1)f(x)＝?1，－＜x＜，
221?2x，x≥.?2
11
当－＜x＜时，f(x)＜2；4分
22
1
－2x，x≤－，
2
2分
1
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；3分
2
1
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，6分 从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－ab－1＝(a－1)(1－b)＜0.9分 因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分
2
2
2
2
22
2
2
3．(选修4－4)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?x＝3cos α，?y＝sin α
(α为
参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程π??为ρsin?θ＋?＝22. 4??
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 解] (1)C1的普通方程为＋y＝1，2分
3
x2
2
C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.4分
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α).5分 因为C2是直线，
所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，6分
d(α)＝
π??|3cos α＋sin α－4|??＝2?sin?α＋?－2?.8分 3????2
π
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐
6
?31?标为?，?.10分 ?22?
(选修4—5)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围． 解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.1分 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.4分
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，5分
1
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①7分
2当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.8分 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范围是2，＋∞).10分
B组 模拟题提速练]
1．(选修4－4)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参
??x＝－1＋tcos α，
数方程为?
??y＝tsin α
(t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小.
【导学号：85952088】
π
解] (1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；
2π
当α≠时，直线l的普通方程为y＝tan α(x＋1).3分
2由ρ＝2cos θ，得ρ＝2ρcos θ，
所以x＋y＝2x，即为曲线C的直角坐标方程.5分
(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x＋y＝2x，整理得t－4tcos α＋3＝0.6分
33322
由Δ＝16cosα－12＝0，得cosα＝，所以cos α＝或cos α＝－，8分
422π5π
故直线l的倾斜角α为或.10分
66
(选修4－5)设函数f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈R. (1)当a＝2时，解不等式f(x)＜1；
(2)若对于任意实数x，恒有f(x)≤2a成立，求a的取值范围． 解] (1)a＝2时，f(x)＜1就是|x－3|－|x＋2|＜1.1分 当x＜－2时，3－x＋x＋2＜1，得5＜1，不成立；2分 当－2≤x＜3时，3－x－x－2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；3分 当x≥3时，x－3－x－2＜1，即－5＜1，恒成立，所以x≥3.4分 综上可知，不等式f(x)＜1的解集是(0，＋∞).5分
(2)因为f(x)＝|x－3|－|x＋a|≤|(x－3)－(x＋a)|＝|a＋3|， 所以f(x)的最大值为|a＋3|.6分
对于任意实数x，恒有f(x)≤2a成立，等价于|a＋3|≤2a.7分 当a≥－3时，a＋3≤2a，得a≥3；8分
当a＜－3时，－a－3≤2a，a≥－1，不成立.9分 综上，所求a的取值范围是3，＋∞).10分
2．(选修4－4)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)＋y＝1.直线l经过点P(m,0)，π
且倾斜角为.以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
6
2
2
2
2
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2
2
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（通用版）2017届高三数学二轮复习第2部分必考补充专题专题限时集训23专题6突破点23坐标系与参数方程不等式
