2024年北京市海淀区高考数学二模试卷
含详细解析
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 若全集??=??，??={??|??<1}，??={??|??>?1}，则( )
A. ????? B. ????? C. ????????
D. ????????
2. 下列函数中，值域为[0,+∞)且为偶函数的是( )
A. ??=??2 B. ??=|???1| C. ??=???????? D. ??=??????
3. 若抛物线??2=12??的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|????|等于( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4. 已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面??，??，下列四个命题中正确的为
( )
A. 若??//??，??//??，则??//?? B. 若??//??，?????，则??//?? C. 若??//??，??//??，则??//?? D. 若??//??，??⊥??，则??⊥?? 5. 在△??????中，若??=7，??=8，????????=?7，则∠??的大小为( )
1
A. 6
??
B. 4
??
??
C. 3
??
??
D. 2
??
6. 将函数??(??)=sin(2???6)的图象向左平移3个单位长度，得到函数??(??)的图象，则
??(??)=( )
A. sin(2??+6)
??
B. sin(2??+3)
2??
C. cos2x D. ???????2??
7. 某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 4
2
? ，? 8. 对于非零向量????，“(??? =? ??”的( ) ? +? ??)???? =2??? ”是“??
4
2
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，正方体???????????1??1??1??1的棱长为2，点O为底面
ABCD的中心，点P在侧面????1??1??的边界及其内部运动．若??1??⊥????，则△??1??1??面积的最大值为( )
5 A. 2√55 B. 4√5
C. √5
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D. 2√5
10. 为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以
上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件(其中“√”表示就座人员).根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 若复数(2???)(??+??)为纯虚数，则实数??=______．
12. 已知双曲线E的一条渐近线方程为??=??，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程
可以为______.(写出一个即可)
13. 数列{????}中，??1=2，????+1=2????，??∈???.若其前k项和为126，则??=______．
??? |=|????? ??? |，O为坐标原点，则14. 已知点??(2,0)，??(1,2)，??(2,2)，|?????????????????
??? |=______，????? |??????????与????? ????夹角的取值范围是______． ????+1,??≤015. 已知函数??(??)={，给出下列三个结论：
|??????|,??>0
①当??=?2时，函数??(??)的单调递减区间为(?∞,1)； ②若函数??(??)无最小值，则a的取值范围为(0,+∞)；
③若??<1且??≠0，则???∈??，使得函数??=??(??)???恰有3个零点??1，??2，??3，且??1??2??3=?1．
其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）
16. 已知{????}是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为????.又___，且??5=40，是否
存在大于1的正整数k，使得????=??1？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
从①??1=4，②??=?2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
17. 在四棱锥???????????中，底面ABCD为直角梯形，????//????，∠??????=90°，????=
????=2????=1，E为线段AD的中点，????⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G． (Ⅰ)求证：????//????；
(Ⅱ)若PC与AB所成的角为4，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．
??
1
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18. 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗
模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．
(Ⅰ)估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；
(Ⅱ)若以图2中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；
(Ⅲ)据统计，该地区被访者的签约率约为44%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．
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19. 已知椭圆w：
??2??2
+
??2??2
√
=1(??>??>0)过??(0,1)，??(0,?1)两点，离心率为．
2
3(Ⅰ)求椭圆w的方程；
(Ⅱ)过点A的直线l与椭圆w的另一个交点为C，直线l交直线??=2于点M，记直线BC，BM的斜率分别为??1，??2，求??1??2的值．
20. 已知函数??(??)=????(????????+????????)．
(Ⅰ)求??(??)的单调递增区间；
(Ⅱ)求证：曲线??=??(??)在区间(0,2)上有且只有一条斜率为2的切线．
21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点??(??,??)，定义|????|=|??|+|??|.
任取点??(??1,??1)，??(??2,??2)，记??′(??1,??2)，??′(??2,??1)，若此时|????|2+|????|2≥|????′|2+|????′|2成立，则称点A，B相关．
(Ⅰ)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①??(?2,1)，??(3,2)；②??(4,?3)，??(2,4)．
(Ⅱ)给定??∈???，??≥3，点集????={(??,??)|???≤??≤??，???≤??≤??，x，??∈??}．
(??)求集合????中与点??(1,1)相关的点的个数；
(????)若???????，且对于任意的A，??∈??，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．
??
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵?????={??|??≥1}，?????={??|??≤?1}，∴????????， 故选：D．
由集合间的关系直接判断．
本题考查了集合的补集运算及集合间的关系，属于基础题． 2.【答案】A
【解析】解：A：??=??2为偶函数，且值域[0,+∞)，符合题意； B：??=|???1|为非奇非偶函数，不符合题意； C：??=????????的值域[?1,1]，不符合题意；
D：??=??????为非奇非偶函数，且值域R，不符合题意． 故选：A．
由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题． 3.【答案】B
【解析】解：抛物线??2=12??的焦点在x轴上，??=6， 由抛物线的定义可得：|????|=????+2=3+2=6．
故选：B．
利用抛物线的标准方程，求出p，通过定义转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 4.【答案】D
【解析】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面??，??， 对于A，若??//??，??//??，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若??//??，?????，则??//??或?????，故B错误； 对于C，若??//??，??//??，则??与??平行或相交，故C错误；
对于D，若??//??，??⊥??，则由面面垂直的判定定理得??⊥??，故D正确． 故选：D．
对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，??//??或?????；对于C，??与??平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得??⊥??．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题． 5.【答案】C
【解析】解：∵??=7，??=8，????????=?7， ∴????????=√1?cos2??=
??
??
4√3， 7
4√37??6
1
∴由正弦定理????????=????????，可得????????=???????????=7×
??
8
=
√3， 2
∵??
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??
2024年北京市海淀区高考数学二模试卷-含详细解析
