中南传媒湖南新教材杯
2020年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4答案 ??i 3
3 （1,2] 3 a?c?b 121 6k?1 93 46 32 二、解答题（共6小题，满分80分。要求写出解题过程）
11、（13分）已知△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，2cos(A?C)?2cosB?1，延长BC至D，使BD?5. （1）求?B的大小； （2）求AC?CD的取值范围．
解：（1）由题意知cos(A?C)?cosB?即 cosA?cosC?所以又
11，则有cos(A?C)?cos(A?C)? 22122① ， 又b?ac?sinB?sinA?sinC② 41?sin2B?cosAcosC?sinAsinC?cos(A?C)??cosB. 41?(1?cos2B)??cosB,，即4cos2B?4cosB?3?0. 413解得cosB?或cosB??（舍去）
22??又因为0?B?，所以B?. ……………… 7分
231（2）由（1）结论，①+②，得cos(A?C)??sin2B?1.
4则A?C.故三角形ABC为等边三角形， 设三角形边长为x，则0?x?5.
AC?CD?ACCDcos60 ?所以，AC?CD的取值范围?0,11525255） x(5?x)??[(x?)2?]?(0,]（当且仅当x?时取“=”
222482??25??. ………………………… 13分 8? 第1页，共7页
12、（13分）某校高二男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小明和小强同一小组，小明、小强投篮投进的概率分别为
P1，P2．
32，P，求在第一轮游戏中他们获得“优秀小组”的概率； ?2434（2）若P，且游戏中小明、小强小组要获得“优秀小组”次数为16次，则理论上上至少要进行?P?123（1）若P1?多少轮游戏才行？并求此时P1、P2的值．
解：（1）记“在第一轮游戏中他们获得“优秀小组””为事件A，
1则P(A)?(C2312222233121233222?)(C2?)?(C2?)(C2?)?(C2?)(C2?)? …………… 5分 4433443344333（2）他们在第一轮游戏中获得“优秀小组”的概率为
1222212222P?C2P1(1?P1)C2P2?C2P1C2P2(1?P2)?C2P1C2P2
?2PP12(P1?P2)?3P1P2 ?22822PP12?3P1P2. 3P1141?P22，又?P?1,?P?1PP?()?. 12123329141482所以?PP 令，则 故有?.?t?.P?h(t)??3t?t t?PP121299993416当t?时，Pmax?.
927因为0?P,0?P1?12?1，所以
n?27. 他们小组在n轮游戏中获“优秀小组”的次数?:B(n,P)，由（nP）max?16，则
所以，理论上至少要进行27轮游戏，此时P1?P2?442，,PP?P?P?. ………13分 121239313、（13分）已知数列{an}中，a1?a2?5，且an?1?an?6an?1(n?2,n?N?)．
（1）证明：数列?an?3an?1?是等比数列，并求数列{an}通项公式； （2）证明：
11??a1a2?11?． an2证明：（1）
an?1?an?6an?1(n?2,n?N?)?an?1?3an?an?6an?1?3an??2an?6an?1??2?an?3an?1?
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所以数列{an?3an?1}是首项为a2?3a1，公比为?2的等比数列.
故有 an?3an?1??a2?3a1????2?n?2?5???2?n-1
an?3an?1?5???2?n?1?an????32?an?1??2?n?1?52?n2?n?2??an??2??1??32?(an?1n??2?n?1?1)?an?a??3?n?1?3
??2?n?1??1?n????2?1?1???????2??????2??n?an??3??nn???2??????2???1??3n????2?.??（2）当n?2k时，
1a?1?11312k?122k?1?32k?22k??kn?1an3?32k?3?22k32?22k2618?32k?3?2?32k?3?22k?22k?32k?22k?2?34k?22k?32k?3?24k8?32k?42?34k?22k?32k?32k1?1444a?1??41a2a?2?1?32?2?32?3?2k332?k???1????4??1?9k??9???1??????1?19?2??1?19k?1
??2.?当n?2k?1时，
1a?1??11?11a2a??1?na1aa?1?1 2nan?12综上，求证真. 第3页，共7页
6分
…………………… 13分……………………
π
14、（13分）如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，
2O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2. (1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角B--A1C-- D的正弦值.
解 (1)在图1中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝
?，所以BE⊥AC， 2即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC， 1
又在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，E为AD中点，
2所以BC∥ED，所以四边形BCDE为平行四边形，
故有CD∥BE， 所以CD⊥平面A1OC. ……… 6分 (2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE， 又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
π
所以∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，所以∠A1OC＝，
2如图2，以O为原点，建立空间直角坐标系， 因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED， 所以B
?2，0，0?，E?－2，0，0?，A?0，0，2?，C?0，2，0?， ?2??2?1?2??2?
22?→?22?→→→?
得BC＝－，，0，A1C＝0，，－，CD＝BE＝(－2，0，0)，
?22??22?设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)， →?BC＝0，??n1·?－x1＋y1＝0，
则?得?取n1＝(1，1，1)；
?→y－z＝0，?11??n1·A1C＝0，→?CD＝0，??n2·?x2＝0，
?得?取n2＝(0，1，1)，
?→y－z＝0，?22??n2·A1C＝0，从而cos?n1,n2?＝
26
＝， 3×23
设二面角B--A1C—D为?，则sin??33. 即二面角B--A1C—D正弦值为. …………………… 13分 33 第4页，共7页
x2y2x2y215、（13分）已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)，其短轴长为23，离心率为e1，双曲线??1abmn（m?0，n?0）的渐近线为y??3x，离心率为e2，且e1?e2?1. （1）求椭圆E的方程；
（2）若A为椭圆E的右顶点，P(?1,)，直线AP与y轴交于点H，过点H的另一直线与椭圆E交于M，
32N两点，设?HMA的面积为S1，?PHN的面积为S2，且S1?6S2，求直线MN的方程.
解：（1）由题意可知：2b?23，b?3，nn?3，双曲线的离心率e2?1??2， mm1cb21则椭圆的离心率为e1?.椭圆的离心率e1??1?2?，则a?2.
2aa2x2y2∴椭圆的标准方程：??1. ………………………………… 6分
43（2）由（1）知P(?1,)在椭圆E上，A(2,0) 故AP的直线方程：y??(x?2)，从而H(0,1) 当MN与x轴垂直时，不符合题意.
当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y?kx?1
3212?y?kx?122由?2，消去y，整理得：(4k?3)x?8kx?8?0. 2?3x?4y?12设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1?x2??8k?8xx?， ① 12224k?34k?3由S1?6S2，可得AHMH?6NHPH，又AH?2PH，
?8k??2x?22??4k?3所以MH?3NH，得x1??3x2结合①，可得?
?8??3x2?2?4k2?3?16k28663??MN，解得，所以直线方程为k??y??x?1. …… 13分
(4k2?3)24k2?322 第5页，共7页
2020年预赛试题参考答案及评分标准
