第2课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识点一 对数运算性质
思考 有了乘法口诀,我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么,有没有类似乘法口诀的东西,使我们不必把对数式还原成指数式就能计算?
梳理 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1)loga(MN)=____________________. (2)logaM=____________(n∈R). (3)loga=____________________. 知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式,我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上,早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底),可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办?
log25xx思考2 假设=x,则log25=xlog23,即log25=log23,从而有3=5,再化为对数式
log23可得到什么结论?
nMN
梳理 对数换底公式为
logaNlogbN=(a,b>0,a,b≠1,N>0).
logab特别地:logab·logba=________(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).
类型一 具体数字的化简求值 例1 计算:(1)log345-log35; (2)log2(2×4);
lg27+lg 8-lg 1 000(3);
lg 1.2(4)log29·log38.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则: (1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式. (2)不同底化为同底.
跟踪训练1 计算:(1)2log63+log64;
?1
(2)(lg 25-lg )÷1002;
4
13
5
(3)log43·log98;
(4)log2.56.25+lne-0.064.
13
类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变形 例2 化简logax2y3
. z
反思与感悟 使用公式要注意成立条件,如lg x不一定等于2 lg x,反例:log10(-10)=2log10(-10)是不成立的.要特别注意loga(M±N)≠logaM±logaN. 跟踪训练2 已知y>0,化简loga
2
2
loga(MN)≠logaM·logaN,
x. yz
命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189=a,18=5,用a,b表示log3645.
反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”,然后用指定字母换元. 跟踪训练3 已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
b
1
1.log5+log53等于( )
310
A.0 B.1 C.-1 D.log5
3
2.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac 3.log29×log34等于( ) 11
A. B. C.2 D.4 42
4.lg 0.01+log216的值是________.
5.已知lg a,lg b是方程2x-4x+1=0的两个根,则?lg ?的值是________.
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 2.运用对数的运算性质应注意:
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误:
①logaN=(logaN),②loga(MN)=logaM·logaN, ③logaM±logaN=loga(M±N).
nn2
?
?
a?2b?