专题17 反比例函数综合题
考点分析
【例1】（2024·浙江中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=23，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=
k（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，Dx为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D坐标为（5，3）；（2）OB=3；（3）k=123． 【解析】
（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．
∵∠ABC=90°， ∴tan∠ACB=
AB?3， BC∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
1
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°-60°=30°， ∴CE=1，DE=3， ∴OE=OB+BC+CE=5， ∴点D坐标为（5，3）．
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，23）， 由题意CE=1．DE=3，可得D（3+a，3）， ∵点A、D在同一反比例函数图象上， ∴23a=3（3+a）， ∴a=3， ∴OB=3．
（3）存在．理由如下： ①如图2中，当∠PA1D=90°时．
∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=23， ∴AA1=
ADcos30?=4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°， ∴PA=433，
2
∴PB=1033， 设P（m，
1033），则D1（m+7，3）， ∵P、A1在同一反比例函数图象上， ∴
1033m=3（m+7）， 解得m=3， ∴P（3，1033）， ∴k=103．
②如图3中，当∠PDA1=90°时．
∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1， ∴△AKP∽△DKA1，
∴AKKD?PKKA． 1∴
PKAK?KA1DK， ∵∠AKD=∠PKA1， ∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°， ∴∠APD=∠ADP=30°，
3
2024年中考数学基础题专练：17反比例函数综合题
