数学《不等式》复习知识点
一、选择题
1．抛物线
的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足
MN2??AFB?，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（ ）
AB3A．3 4B．3 3C．3 2D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设A,B在直线l上的投影分别是A1,B1，则AF?AA1，BF?BB1，又MMN1AA1?BB1AF?BF1???是AB中点，所以MN?(AA1?BB1)，则，在AB2AB2AB2?ABF中
2?22?AF?BF?AFBF3AF?BF232?(AF?BF)2?AFBF?(AF?BF)2?()?(AF?BF)，所以
42AB?AF?BF?2AFBFcos222(AF?BF)2AB2?MNAF?BF2343??，即，所以，故选B．
3AB3AB3考点：抛物线的性质． 【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB的中点M到准线的距离首先等于A,B两点到准线距离之和的一半，然后转化为A,B两点到焦点F的距离，从而与弦长AB之间可通过余弦定理建立关系．
?x?2y?3?0?2．已知x,y满足约束条件?2x?3y?4?0，若目标函数z?mx?ny?2的最大值为1
?y?0?（其中m?0,n?0），则A．3 【答案】D
11?的最小值为（ ） 2mnC．2
D．
B．1
3 2【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数z的最大值求得m,n的关系式m?2n?3，再利用基本不等式
11?的最小值. 2mn【详解】
求得
画出可行域如下图所示，由于m?0,n?0，所以基准直线mx?ny?0的斜率为负数，故目标函数在点A?1,2?处取得最大值，即m?2n?2?1，所以m?2n?3.
111?11?1?5nm?1?5nm?193????????m?2n???????????2????3?2?22mn3?2mn?3?2mn?3?2mn??nm113?的最小值为. ，当且仅当?,m?n?1时等号成立，所以
mn2mn2故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
3．已知等差数列{an}中，首项为a1（a1?0），公差为d，前n项和为Sn，且满足
a1S5?15?0，则实数d的取值范围是（ ）
A．[?3,3]；
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n项和公式转化条件得d??分类，利用基本不等式即可得解.
B．(??,?3]
C．[3,??)D．(??,?3]?[3,??)
3a1?，再根据a1?0、a1?0两种情况2a12【详解】
Q数列{an}为等差数列，
?S5?5a1?5?4d?5a1?10d，?a1S5?15?5a1?a1?2d??15?0， 23a1?， 由a1?0可得d??2a12当a1?0时，d??等号成立； 当a1?0时，d??立；
?3a1?3a13a1????????2???3，当且仅当a1?3时2a122a12?2a12??3??a1?3a1??2????????3，当且仅当a1??3时等号成2a122a2?1????实数d的取值范围为(??,?3]?[3,??).
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
4．若实数a,b,c，满足2a?2b?2a?b，2a?2b?2c?2a?b?c，，则c的最大值是（ ） A．
4 3B．log23
C．
2 5D．log24 3【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2得c的最大值. 【详解】
因为2a?2b?2a?b，故2a?2b?2a?b?22a?2b?22a?b， 整理得到2a?b?4，当且仅当a?b?1时等号成立. 又因为2?2?2?2abca?b?ca?b2a?b的最小值后可得a?b的最大值，从而可得2c的最大值，故可
2?12a?b114，故2?a?b?1?a?b?1??，
2?12?133c当且仅当a?b?1时等号成立，故cmax?log2故选：D. 【点睛】
4. 3本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正
二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
5．已知函数f?x??log2?x2?1?x，若对任意的正数a,b，满足
?31f?a??f?3b?1??0，则?的最小值为（ ）
abA．6 【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得a?3b?1，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 因为x2?1?x?因为f?x??log2因为f?x??log2B．8
C．12
D．24
x2?x?x?x?0,所以定义域为R，
1x2?1?x1x2?1?x，所以f?x?为减函数 ，f??x??log2?x2?1?x,所以
?f?x???f??x?，f?x?为奇函数，
因为f?a??f?3b?1??0，所以f?a??f?1?3b?，a?1?3b，即a?3b?1， 所以
31?31?9ba??????a?3b????6， ab?ab?ab因为
9ba9ba??2??6， abab3111??12（当且仅当a?，b?时，等号成立），选C. ab26【点睛】
所以
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
成立，则实数t的取值范围是（ ）. A．????,?6．已知VABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式|kAB?tBC|?1恒
uuuruuur???3??3?,?? ??????3??3?B．????,????23??23?,??????3? 3?????23?C．??3,????
???3?D．??3,????
??【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k的二次不等式恒成立的问题，由n?0，即可求得结果. 【详解】
uuuruuur1因为VABC是边长为1的等边三角形，所以AB?BC?cos120???，
2uuuruuuruuur2uuuruuur2uuur22由|kAB?tBC|?1两边平方得k(AB)?2ktAB?BC?t(BC)?1，
即k2?kt?t2?1?0，构造函数f(k)?k?tk?t?1， 由题意，??t?4t?1?0， 解得t??故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
222?2?2323. 或t?33
7．以A为顶点的三棱锥A?BCD，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为
8?，则以A为顶点，以面BCD为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB?x，AC?y，AD?z，球半径为R，即可由
外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】
将以A为顶点的三棱锥A?BCD，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
高考数学压轴专题（易错题）备战高考《不等式》知识点总复习含答案解析
