第七篇 立体几何与空间向量
专题7.08 利用空间向量解决有关空间角的开放问题
【考点聚焦突破】
考点一 与线面角有关的探索性问题
【例1】 (2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足
ADCE1
＝＝(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接DBEA2
A1B，A1C(如图(2))．
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
【规律方法】 解决此类问题的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)并解方程(组)，若有解，则存在并求得结论成立的条件，若无解，则不存在．
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【训练1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．
(1)求证：AD⊥PC；
(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．
考点二 与二面角有关的探索性问题
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角度1 已知二面角探求长度
【例2－1】 (2019·潍坊模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝190°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝3.
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(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；
(2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°？
角度2 已知二面角探求角度
【例2－2】 (2019·河北“五个一”名校联考)如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
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专题7.8 利用空间向量解决有关空间角的开放问题-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
