方程与不等式之一元二次方程经典测试题附答案解析
一、选择题
1.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为( ) A.7 【答案】C 【解析】
试题分析:设这个小组的人数为x个,则每个人要送其他(x﹣1)个人贺卡,则共有(x﹣1)x张贺卡,等于72张,由此可列方程. 解:设这个小组有x人,
则根据题意可列方程为:(x﹣1)x=72, 解得:x1=9,x2=﹣8(舍去). 故选C.
B.8
C.9
D.10
2.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第( )象限. A.四 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
∵一元二次方程x2 - 2x - m = 0无实数根 ∴△=4+4m<0,即m<-1
∴一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限 截距m-1<0,则图象与y轴交与负半轴,图像过第三象限 ∴一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限,故选D.
B.三
C.二
D.一
3.国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达10亿元,若把增长率记作x,则方程可以列为( ) A.3(1?x)?10 C.3?3(1?x)2?10 【答案】D 【解析】 【分析】
用含x的代数式表示出第二天和第三天的票房收入,三天的票房收入再相加即得答案. 【详解】
解:设平均每天票房收入的增长率记作x,则3?3(1?x)?3(1?x)?10.
2B.3(1?x)2?10
D.3?3(1?x)?3(1?x)2?10
故选:D.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题,一般的,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为:a?1?x??b.
2
4.代数式x2-4x+5的最小值是( ) A.-1 【答案】B 【解析】
B.1
C.2
D.5
x2-4x+5
=x2-4x+4-4+5 =(x?2)2+1
2∵(x?2)≥0, 2∴(x?2)+1≥1,
∴代数x2-4x+5的最小值为1. 故选B.
点睛:解这类题时,通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式,再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式,就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
5.某型号手机原来销售单价是4000元,经过两次降价促销,现在的销售单价是2560元,若两次降价的百分率相同,则平均每次降价( ) A.10% 【答案】C 【解析】 【分析】
根据原来售价是4000元,经过两次降价且降价百分率相同后销售单价为2560元,设两次降价的百分率为x ,一次降价为4000?1?x?,两次降价为4000?1?x?得出
2B.15% C.20% D.25%
4000?1?x?=2560,算出x.
【详解】
解:设两次降价的百分率为x,由题意得: 4000(1﹣x)2=2560 ∴(1﹣x)2=∴1﹣x=±0.8
∴x1=1.8(舍),x2=0.2=20% 故选:C.
2256 400【点睛】
熟悉一元二次方程的增长率和下降率的相关题型,注意分析是一次增长(下降),还是二次增长(下降)问题.
6.若代数式x2?6x?m?(x?3)2?1,则m?( ) A.-8 【答案】C 【解析】 【分析】
已知等式右边利用完全平方公式化简,利用多项式相等的条件求出m的值即可. 【详解】
B.9
C.8
D.-9
x2?6x?m?(x?3)2?1=x2+6x+8,
可得m=8, 故选:C. 【点睛】
此题考查配方法的应用,解题关键在于掌握计算公式.
7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法: ①若b=2ac,则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根;
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2﹣4ac=(2ax0+b)2,其中正确的( ) A.只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】
判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△?b2?4ac的值的符号就可以了.④难度较大,用到了求根公式表示x0. 【详解】
解:①若b?2ac,方程两边平方得b2=4ac,即b2﹣4ac=0,所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根;
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则b2﹣4ac>0
方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac>0,所以也一定有两个不等的实数根; ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac2+bc+c=0成立, 当c≠0时ac+b+1=0成立;当c=0时ac+b+1=0不成立;
B.只有①②④
C.①②③④
D.只有③④
方程与不等式之一元二次方程经典测试题附答案解析
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