常考题型强化练——函数
A组 专项基础训练
一、选择题 1.若
,则f(x)的定义域为
1?-1,+∞? -,0? A.? B.?2??2?1?-1,2? -,0?∪(0,+∞) C.?D.?2??2?答案 C
( )
解析 由已知得 1
即x>-且x≠0,∴选C.
2
1?|x9
2.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=??a?x+1
+b|
的图象为 ( )
答案 B
解析 由基本不等式得f(x)=x+1+=9
, x+1
9
-5≥2x+1
9
?x+1?×-5=1,当且仅当x+1
x+1
即x=2时取得最小值1,故a=2,b=1,
1?|x+b|?1?|x+1|
因此g(x)=??a?=?2?,
1?|x|
只需将y=??2?的图象向左平移1个单位即可,
1?|x|
?1?x作出,故选B. 其中y=?的图象可利用其为偶函数通过y=?2??2?
3.已知函数f(x)=ex-ex+1(e是自然对数的底数),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )
-
A.3 答案 D
B.2 C.1 D.0
解析 依题意得,f(a)+f(-a)=2,2+f(-a)=2,f(-a)=0,选D.
1+ax
4.设定义在区间(-b,b)上的函数f(x)=lg 是奇函数(a,b∈R,且a≠-2),则ab的取
1-2x值范围是
( )
A.(1,2] C.(1,2) 答案 A
B.(0,2] D.(0,2)
1+ax
是区间(-b,b)上的奇函数, 1-2x1+ax1-ax1-a2x2
∴f(x)+f(-x)=lg +lg =lg =0,
1-2x1+2x1-4x21-a2x22
即得2=1,从而可得a=4,由a≠-2可得a=2, 1-4x
1+2x
由此可得f(x)=lg ,
1-2x
111-,?,则有0
∴ab=2b∈(20,2]=(1,2],故应选A.
2解析 ∵函数f(x)=lg
5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 A.6 答案 B
解析 ∵f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),∴当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1.
由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,即x3=2,x4=3;当4≤x<6时,f(x)=0有两个根,即x5=4,x6=5;x7=6也是f(x)=0的根. 故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7. 二、填空题
B.7
C.8
( )
D.9
答案 (1,+∞) 解析 如图,
2
??3-x<1,
作出已知函数的图象,据图象可得不等式f(3-x)>f(2x)??
?2x≥1?
2
3-x≥1,??
或?2x≥1,??3-x2<2x,
2
解两不等式组的解集且取并集为(1,+∞),即为原不等式解集. x-1,x>0,??
7.若函数f(x)=?a,x=0,
??x+b,x<0答案 1
解析 ∵f(x)是奇函数,且x∈R, ∴f(0)=0,即a=0.
又f(-1)=-f(1),∴b-1=-(1-1)=0, 即b=1,因此a+b=1.
8.(2012·上海)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________. 答案 -1
解析 ∵y=f(x)+x2是奇函数, ∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],
∴f(x)+f(-x)+2x2=0.∴f(1)+f(-1)+2=0. ∵f(1)=1,∴f(-1)=-3.
∵g(x)=f(x)+2,∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 三、解答题
9.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0. (1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围. 解 (1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,x1
∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数. 当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,
3?xa?-a?; 当a<0,b>0时,?>-,则x>log1.5?2??2b?2b3?xa?a?-当a>0,b<0时,?<-,则x 10.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x满足函数关系式S= 是奇函数,则a+b=________. ??? 3x+kx-8+5,0 ? ?14, x≥6. 已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3. (1)求k的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. ?解 (1)由题意可得L=??2x+kx-8+2,0 ? ?11-x, x≥6. 因为x=2时,L=3,所以3=2×2+k2-8+2. 所以k=18. (2)当0 8-x+2. 所以L=2(x-8)+18 8-x+18 =-??2?8-x?+1818 8-x??+18≤-22?8-x?·8-x +18=6. 当且仅当2(8-x)=18 8-x,即x=5时取得等号. 当x≥6时,L=11-x≤5. 所以当x=5时,L取得最大值6. 所以当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万元. B组 专项能力提升 1.函数y=?1?2??x +1的图象关于直线y=x对称的图象大致是 答案 A 解析 函数y=?1?2??x +1的图象如图所示,关于y=x对称的图象大致为A选项对应图象.