新教材高中数学课时分层作业24函数的零点及其与对应方程、不
等式解集之间的关系（含解析）新人教B版必修第一册
课时分层作业(二十四) 函数的零点及其与对应方程、不等式解
集之间的关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x－5x－6的零点是( ) A．2,3 C．6，－1
2
2
B．－2,3 D．－6,1
C [令x－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.选C.]
2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7 D [∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．
∵当x＞0时，有三个零点，∴当x＜0时，也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．]
3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( ) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点 C．函数f(x)在(2,5)内有零点 D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
C [唯一的零点必须在区间(1,3)内，而不在[3,5)，所以函数f(x)在(2,5)内有零点是错误的，可能没有．]
4．已知不等式x＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( ) A．[－4,4]
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2
2
B．(－4,4)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
A [由条件可知，Δ＝a－4×4≤0，所以－4≤a≤4.] 5．二次不等式ax2
???1
＋bx＋1＞0的解集为?x?－1＜x＜
2???
??
?，则ab的值为( ) ??
A．－6 B．－2 C．2 D．6
12
C [由题意知方程ax＋bx＋1＝0的实数根为－1和，且a＜0，
2
b1－＝－1＋，??a2
由根与系数的关系得?11
＝－1×，??a2
解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.故选C.] 二、填空题
6．若函数f(x)＝x－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx－ax－1的零点是________．
112
－，－ [依题意知方程x－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×323112
＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x－5x－1，易求出其零点是－和－.] 23
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________． (－1,0) [∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
??f?0?＜0，
∴???f?1?＞0，
2
2
??b<0，
∴???1＋b>0.
∴－1 8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________． 3 0 [∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.] 三、解答题 9．关于x的方程mx＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围． [解] 令f(x)＝mx＋2(m＋3)x＋2m＋14， 依题意得? ?m>0，? ?m>0，? 22 ??f?4?<0 即? ??26m＋38<0 或? ?m<0，? ??f?4?>0， ?m<0，?或???26m＋38>0， 19?19?解得－ 10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－2x. 2 (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． [解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， ∵y＝f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)－2(－x)]＝－x－2x， ??x－2x，x≥0， ∴f(x)＝?2 ??－x－2x，x<0. 2 2 2 2 2 (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－2x＝(x－1)－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时， f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1. ∴作出函数y＝f(x)的图像，如图所示， 根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解， ∴a的取值范围是(－1,1)． [等级过关练] 1．关于x的不等式ax＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式bx－ax－2＞0的解集为( ) A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2) B [因为关于x的不等式ax＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)， 所以－1,2是ax＋bx＋2＝0(a＜0)的两根． 2 2 2 2 b－1＋2＝－，??a所以?2 ?－1?×2＝，??a2 所以a＝－1，b＝1. 所以不等式bx－ax－2＞0即为x＋x－2＞0， 所以x＜－2或x＞1，故选B.] 2.对于任意实数x，不等式(a－2)x－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( ) 2 2
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