第二章
2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略）
(?1)n s(t)??cos(2n?1)?t
?n?02n?14?证明：因为
s(?t)?s(t) 所以
2?kt?2?kt? s(t)??ckcos??ckcos??ckcos?kt
T2k?0k?0k?00?
1?1?1s(t)dt?0?c0?0
12?1?1121?2ck??s(t)cosk?tdt??(???1)cosk?tdt??cosk?tdt??124k? sink?20,k?2n????4n(?1)k?2n?1?(2n?1)??所以
(?1)ns(t)??cos(2n?1)?t
?n?02n?14?
2-2设一个信号s(t)可以表示成 s(t)?2cos?(2t??)????t?
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。
s?(f)???2??2j?cos(2?t??)e?j2?ftdt
sin?(f?1)?sin?(f?1)??[e?e?j?]2?(f?1)??(f?1)?12P(f)?lims?
??????sin2?(f?1)?sin2?(f?1)?sin?(f?1)?sin?(f?1)??lim??2cos2? 22222???4?2(f?1)2?2?(f?1)??(f?1)(f?1)?由公式
sinxtsin2xtlim??(x) lim??(x) 和
t???xt???tx2有
P(f)??[?(f?1)]44
1?[?(f?1)??(f?1)]4??[?(f?1)]??或者
1P(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]
4
2-3 设有一信号如下： x(t)???2exp(?t)?0t?0
t?0试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：
????x(t)2dx?4?e?2tdt?2
0??是能量信号。
S(f)??x(t)ej2?ftdt???2?e?(1?j2?f)tdt
0??21?j2?f22G(f)?1?j2?f?4
1?4?2f2
2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：
（1）?(f)?cos2?f （2）a??(f?a) （3）exp(a?f) 解：
功率谱密度P(f)满足条件：
2????P(f)df为有限值
（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。
2-5 试求出s(t)?Acos?t的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为
12T2R(?)?limA?cos?t?cos?(t??)?T2T??T
A2?cos??2
P?R(0)?
2-6 设信号s(t)的傅里叶变换为S(f)?sin?f解：
试求此信号的自相关函数Rs(?)。 ?f，
12A 2Rs(?)??P(f)ej2?f?df???
sin2?fj2?f???edf ???2f2??1??,?1???1
2-7 已知一信号s(t)的自相关函数为
Rs(?)?k?k?e， k为常数 2P； （1）试求其功率谱密度Ps(f)和功率
（2）试画出Rs(?)和Ps(f)的曲线。 解：（1）
Ps(f)??Rs(?)e?j2?f?d????k??(k?j2?f)?k0(k?j2?f)?ed??ed? 2?02???k2?2k?4?2f2?k2P??2df??k?4?2f2
k?2?（2）略
2-8 已知一信号s(t)的自相关函数是以2为周期的周期函数： R(?)?1??， ?1???1 试求功率谱密度Ps(f)，并画出其曲线。
解：R(?)的傅立叶变换为， （画图略）
1T2R(?)e?j2?f?d??T?T211sin2?f?j2?f???(1??)ed??22
?12?f?sinc2?fP(f)??sinc2?f?(f?nf0)???
n??sinc2?f?(f?)T???n??sinc2?f?(f?)2???
2-9 已知一信号s(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10kHz?f?10kHzP(f)??其他?0试求其平均功率。
解：
P??P(f)df???
??104?10?4210fdf 42??1083
通信原理第二章课后答案
