（易错题精选）初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A．x2+3x=0 【答案】A 【解析】 【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】
A. 符合一元二次方程定义，正确； B. 含有两个未知数，错误； C. 不是整式方程，错误； D. 未知数的最高次数是3，错误． 故选:A. 【点睛】
考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
B．2x+y=3
C．
1?x?0 2xD．x（x2+2）=0
2．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ） A．6或8 【答案】B 【解析】 【分析】
先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果. 【详解】
解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8 当8为直角边时，第三边?62?82?10 当8为斜边长时，第三边?82?62?27 故选B.
考点：解一元二次方程，勾股定理
点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意.
B．10或7 C．10或8
D．27
3．将方程x2?2x?3?0化为?x?m??n的形式，指出m,n分别是（ ）
2A．1和3 【答案】C 【解析】 【分析】
B．-1和3 C．1和4 D．-1和4
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x2-2x=3， 配方得x2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4． 故选C． 【点睛】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
4．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若b＝2ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（ ） A．只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△?b2?4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0． 【详解】
解：①若b?2ac，方程两边平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0
方程x2﹣bx+ac＝0中根的判别式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac2+bc+c＝0成立， 当c≠0时ac+b+1＝0成立；当c＝0时ac+b+1＝0不成立；
B．只有①②④
C．①②③④
D．只有③④
?b?b2?4ac④若x0是一元二次方程ax+bx+c＝0的根，可得x0?，
2a2
把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac＝（2ax0+b）2， 综上所述其中正确的①②④． 故选：B． 【点睛】
此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2?4ac?(2ax0?b)2．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△?0?方程有两个不相等的实数根； （2）△?0?方程有两个相等的实数根； （3）△?0?方程没有实数根．
5．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（ ） A．x?40%?10%
2B．100(1?40%)(1?10%)?(1?x) D．(100?40%)(100?10%)?100(1?x)2
C．(1?40%)(1?10%)?(1?x)2 【答案】C 【解析】 【分析】
设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案． 【详解】
解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%， ∴商品现在的价格为：100(1?40%)(1?10%)，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x， ∴商品现在的价格为：(1?x)， ∴100(1?40%)(1?10%)?100(1?x)， 整理得：(1?40%)(1?10%)?(1?x)， 故选：C． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
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a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程 6．已知一元二次方程 dx?e?0有一
a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0有两个相等的实数根，则个公共解x=x1，若一元二次方程 （ ）
A．a?x1?x2??d C．a?x1?x2??d 【答案】B 【解析】 【分析】
2B．a?x2?x1??d D．a?x2?x1??d
2a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与 由x=x1是方程 dx?e?0的一个公共解可得x=x1是
a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得方程 ?(ax1?ax2?d)，整理后即可得答案．
a【详解】
x1+x1=?a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与 ∵ dx?e?0有一个公共解x=x1，
a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0的一个解， ∴x=x1是方程 a(x?x1)(x?x2)??dx?e??ax2?(ax1?ax2?d)x?ax1x2?e?0， a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0有两个相等的实数根， ∵一元二次方程 ?(ax1?ax2?d)，
a∴a(x2-x1)=d， 故选：B． 【点睛】
∴x1+x1=?本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2=?bcx2=；熟练掌握韦达定理是解题关键． ，x1·aa
7．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A．100（1+x）2=282 C．100（1+2x）＝282 【答案】B 【解析】 【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
B．100+100（1+x）+100（1+x）2=282 D．100+100（1+x）+100（1+2x）=282
【详解】
2五月份的产量=100（1+x），六月份的产量=100(1?x)，
根据题意可得：
100+100（1+x）+100(1?x)2=282. 故选：B． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1?x)?b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
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8．关于x的方程(a?5)x2?4x?1?0有实数根，则a满足（ ） A．a?1 【答案】A 【解析】 【分析】
分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围． 【详解】
当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-B．a?1且a?5
C．a?1且a?5
D．a?5
1； 4当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1． 故选A． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9．下列方程中，有实数根的是（ ） A．x2?2?0 C．1?x?1?0 【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】
B．x?2?2?x?1 D．x?1??x
(易错题精选)初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
