第七章 数列与数学归纳法
7.7.1数列的极限
【课堂例题】
例1.考察下列数列，写出它们的极限： (1),,,?, (2)?
(3)0.99,0.992,0.993,?,0.99n,?
例2.判断数列5.9,6.01,5.999,6.0001,?6?(?
例3.下列数列是否存在极限? (1)1,1,1,?,1,?
(2)?1,1,?1,?,(?1)n,?
3571232n?1,? n11111,,?,,?,(?)n,? 2481621n),?有没有极限，并说明理由. 10?1,n?107?(3)an??1 7?,n?10?n
第七章 数列与数学归纳法
7.7.1数列的极限
【知识再现】
1.一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an 常数
A，那么A叫做数列{an}的极限，或称数列{an} 于A，记作 .
2.两个常见数列的极限： ①lim1? ；②当a满足 时，liman? .
n??n??n【基础训练】
1.下列数列中，极限存在的数列是（ ）
(?1)n?1,?； （B）?,?2,?3,?,?n,?； （A）0,1,0,1,?,22483927?2??3?（C）,,,?,??,?； （D）,,,?,??,?.
3927248?3??2?2.分别判断数列?an?是否有极限，并利用两个常见数列的极限简述理由.
n?1(1)an?， ；
n?1?(2)an?1????， .
?2?3.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限值：
(1)7,7,7,?,7,? ；(2)?3,3,?3,?,3?(?1)n,? ； (3)2,4,6,?,2n,? ；(4)0,?nnn121,?,?,?1,? . 23n?n?1?n,1?n?2011,?4.数列?an?的通项公式an??则liman? . nn????1?,n?2012,?????2?3n?25.(1)已知数列?an?的通项公式an?，填写下表，并判断这个数列是否有极限.
2n?1(精确到0.001) n 1 2 3 4 ? 10 ? 50 ? 100 ? 1000 ? an an?3 2 2n2?1,填写下表，并判断这个数列是否有极限. (2)已知数列?an?的通项公式an?n2(精确到0.001) n 1 2 3 4 ? 10 ? 50 ? 100 ? 1000 ? an an?2 第七章 数列与数学归纳法
6.判断下列关于数列极限的叙述是否正确，若不正确请举出反例. (1)如果
1111?,所以lim?lim.
n??n??n2nn2nn??(2)如果liman?A,那么对一切正整数n，都有an?A.
22(3)如果liman?A,那么liman?A
n??n??
7.利用计算器，判断下列数列是否存在极限. (1)an?nn； (2)bn?nsin1. n
【巩固提高】
8.举出两个极限为2的数列,要求一个各项均大于2,另一个各项均小于2.
?1*1?,n?2k?1,k?N?(?1)?n?n9.已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是an?，bn??，
2n?1?2?1,n?2k,k?N*??nn判断这两个数列是否有极限，并简述理由.
(选做)10.利用数列极限定义，证明：lim
【温故知新】 11.已知数列an?3n3?.
n??1?4n41，前n项和为Sn，则limSn? .
n??n(n?1)第七章 数列与数学归纳法
【课堂例题答案】
2n?11?2;(2)lim(?)n?0;(3)lim0.99n?0
n??n??n??n21n例2.lim[6?(?)]?6
n??101n1n因为lim|6?(?)?6|?lim()?0
n??n??1010例3.(1)lim1?1；(2)极限不存在；(3)liman?0
例1.(1)limn??n??【知识再现答案】
1.无限趋近于；收敛；liman?A.
n??2.0，|a|?1，0 【习题答案】 1.C
2.(1)liman?1,?|an?1|?n??1,?lim|an?1|?0 nn??(2)liman?1,?|an?1|?n??1,?lim|an?1|?0 2nn??3.(1)7；(2)无；(3)无；(4)-1； 4.0
5.(1)liman?n??3 22 2.667 n an an?1 5.000 3 2.200 4 2.000 ? 10 ? 50 ? 100 ? 1000 ? 1.684 1.535 1.518 1.502 3 3.500 2(2)liman?2
n??1.167 0.700 0.500 0.184 0.025 0.018 0.002 n an an?2 1 3.000 1.000 2 2.250 0.250 3 2.111 0.111 4 2.063 0.063 ? 10 ? 50 ? 100 ? 1000 ? 2.010 0.010 2.000 0.000 2.000 0.000 2.000 0.000 1111?lim (2)不正确，?0,lim?0 n??nn??2nn??nn22(3)不正确，lim(?1)?1,lim(?1)?1
6.(1)不正确，limn??n??7.(1)limnn?1;(2)lim(nsin)?1
n??n??1n11,bn?2?,答案不唯一. nn119.liman不存在，a2n?(n??)，a2n?1??(n??)； n??22limbn不存在，b2n?2(n??)， b2n?1?1(n??).
8.an?2?n??一个数列的极限若存在，则极限值是唯一的.
第七章 数列与数学归纳法
31?]?1 16?43n333当n?n0时，|?|????
31?4n416n?416()16?3n3? 证毕 因此limn??1?4n410.证：???0，存在n0?[11.1
7.7.1 数列的极限(含答案)
