2020-2021泉州现代中学高中三年级数学下期末模拟试卷附答案
一、选择题
1．设z?A．0
1?i?2i，则|z|? 1?iB．
1 2C．1 D．2
2．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A．
1 2B．
1 3C．
1 6D．
1 12z3．若z?4?3i，则?（ ）
zA．1
B．?1
C．
43?i 55D．
43?i 554．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x?3，y?3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A．$y?0.4x?2.3 C．$y??2x?9.5
B．$y?2x?2.4 D．$y??0.3x?4.4
5．已知集合P?x-1 B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2） ????6．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是( ) A．①③ 3B．①④ 2C．②③ D．②④ 7．函数f(x)?x?3x?1的单调减区间为 A．(2,??) 2B．(??,2) C．(??,0) D．(0,2) 8．函数f(x)?e|x|?x的图象是（ ） A． B． C． D． 9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3 10．已知当m，n?[?1，1)时，sinA．m?n C．m?n A．1 B．﹣2 ?m2?sin?n2?n3?m3，则以下判断正确的是( ) B．|m|?|n| D．m与n的大小关系不确定 C．6 D．2 11．由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（ ） 12．函数f?x?的图象如图所示，f??x?为函数f?x?的导函数，下列数值排序正确是（ ） A．0?f??2??f??3??f?3??f?2? B．0?f??3??f?3??f?2??f??2? C．0?f??3??f??2??f?3??f?2? D．0?f?3??f?2??f??2??f??3? 二、填空题 13．复数i?1?i?的实部为 ． 14．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= _________ ． 15．(x?)的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案） 16．在等腰梯形ABCD中,已知ABPDC,AB?2,BC?1,?ABC?60o,点E和点F分别在 31x7uuur2uuuruuur1uuuruuuruuur线段BC和CD上,且BE?BC,DF?DC,则AE?AF的值为 ． 3617．能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 18．高三某班一学习小组的A,B,C,D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________. uuuruuuruuuruuur19．已知OA?1，OB?3，OA?OB?0，点C在?AOB内，且?AOC?30o，设 uuuruuuruuurm(m,n?R)?__________． ，，则OC?mOA?nOBn20．如图，已知P是半径为2，圆心角为 uuuvuuuvPC?PA的最小值为_______． 三、解答题 uuuvuuuv?的一段圆弧AB上一点，AB?2BC，则3x?2(a?1)． x?1（1）证明：函数f(x)在(?1,??)上为增函数； 21．已知函数f(x)?a?x（2）用反证法证明：f(x)?0没有负数根． 22．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF?平面ABCD，EF//AB， ?BAF?90?，AD?2，AB?AF?1，点P在线段DF上. （1）求证：AF?平面ABCD； （2）若二面角D?AP?C的余弦值为6，求PF的长度. 323．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC， DC，SC的中点.求证： （1）直线EG//平面BDD1B1； （2）平面EFG//平面BDD1B1. 24．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证： (1)DE∥平面BCP； (2)四边形DEFG为矩形． 25．如图,四棱锥P?ABCD中，AB//DC，?ADC?PD?PB?6，PD?BC． ?2，AB?AD?1CD?2，2 （1）求证：平面PBD?平面PBC； （2）在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为在，求 ?？若存3CM的值；若不存在，说明理由． CP*26．已知数列{an}与{bn}满足：a1?a2?a3?L?an?2bn(n?N)，且{an}为正项等比 数列，a1?2，b3?b2?4. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足cn?1(n?N*)，Tn为数列{cn}的前n项和，证明： log2anlog2an?1Tn?1. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模. 详解：z??1?i??1?i??2i1?i?2i? 1?i1?i1?i??????i?2i?i， 则z?1，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．B 解析：B 【解析】 【分析】 22C4C22?A求得基本事件的总数为n?2?6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事2A2222件个数为m?C2C2A2?2,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 22C4C22n??A基本事件的总数为2?6， 2A2222其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m?C2C2A2?2, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为p?【点睛】 m1?，故选B. n3本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：z?42?32?5，且：z?4?3i， z4?3i43???i. 据此有：z555本题选择D选项. 4．A 解析：A 【解析】 试题分析：因为与考点：线性回归直线. 正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心 ，故排除选项B；故选A． 5．A 解析：A 【解析】 利用数轴，取P,Q所有元素，得PUQ?(?1,2)． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 6．C 解析：C 【解析】 试题分析：根据不等式的基本性质知命题p正确，对于命题q，当x,y为负数时x?y22不成立，即命题q不正确，所以根据真值表可得p?q,p?(考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用. q)为真命题，故选C. 7．D 解析：D 【解析】 【分析】 对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】 Qf(x)?x3?3x2?1?f'(x)?3x2?6x?3x(x?2)?0?0?x?2，所以函数的单调 减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键. 8．A 解析：A 【解析】 【分析】 通过f(0)?1，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A． 【详解】 2f(x)?e|x|?x，可得f(0)=1,排除选项C,D; 由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B， 故选A 【点睛】 图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目． 9．B 解析：B 【解析】 试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积． 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣故选B． =100． 考点：由三视图求面积、体积． 10．C 解析：C 【解析】 【分析】 由函数的增减性及导数的应用得：设f(x)?x?sin3?x2函数，又m，n?[?1，1)时，根据条件得f(m)?f(n)，即可得结果． 【详解】 解：设f(x)?x?sin3,x?[?1,1]，求得可得f(x)为增 ?x2,x?[?1,1]， 则f(x)?3x?3?2?2cos?x2?0， 即f(x)?x?sin?x2,x?[?1,1]为增函数， 又m，n?[?1，1)，sin即sin?m2?sin?n2?n3?m3， ?m22所以f(m)?f(n)， 所以m?n． 故选：C． 【点睛】 ?m3?sin?n?n3， 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 11．C 解析：C 【解析】 试题分析：通过选项a的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素， 当a=6时，由a2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A，A中含有3个元素， 当a=2时，由a2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 故选C． 点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查． 12．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义可对比切线斜率得到0?f??3??f??2?，将f?3??f?2?看作过 ?2,f?2??和?3,f?3??的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果. 【详解】 由f?x?图象可知，f?x?在x?2处的切线斜率大于在x?3处的切线斜率，且斜率为正， ?0?f??3??f??2?， f?3??f?2?，?f?3??f?2?可看作过?2,f?2??和?3,f?3??的割线Qf?3??f?2??3?2的斜率，由图象可知f??3??f?3??f?2??f??2?， ?0?f??3??f?3??f?2??f??2?. 故选：B. 【点睛】 本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果. 二、填空题 13．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：?1 【解析】 复数i(1?i)?i?1??1?i，其实部为?1. 考点：复数的乘法运算、实部. 14．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i（i是虚数单位）则|z|==故答案为 解析： 【解析】 【分析】 【详解】 复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=故答案为 ． = ． 15．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用 解析：35 【解析】 由题意，二项式(x?)展开的通项Tr?1?C7(x)4得r?4，则x5的系数是C7?35. 31x7r37?r1r21?4r()r?C7x，令21?4r?5，x考点：1.二项式定理的展开式应用. 16．【解析】在等腰梯形ABCD中由得所以考点：平面向量的数量积 29 18【解析】 解析： 在等腰梯形ABCD中,由ABPDC,AB?2,BC?1,?ABC?60,得 ouuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuuuur1uuurruuurAD?BC?,AB?AD?1,DC?AB,所以AE?AF?AB?BE?AD?DF 22????r2uuur??uuur1uuur?uuuruuur2uuuruuur1uuur21uuuruuur11129?uuu??AB?BC???AD?AB??AB?AD?BC?AD?AB?BC?AB?1????31231218331818????.考点：平面向量的数量积. 17．y=sinx（答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分 段函数使得f（x）>f（0）且（02］上是减函数详解：令则f（x）>f（0）对任意的x∈（02］都成立但f（x）在［02］上不 解析：y=sinx（答案不唯一） 【解析】 分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数. 详解：令f(x)???0,x?0?4?x,x?(0,2]（x）在［0，2］上不是增函数. （x）在［0，2］上不是增函数. ，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f 又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.通常举分段函数. 18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞B在打篮球∵③C在散步是A在跳舞的充分条件∴C在散步则D在画画故答案为画画 解析：画画 【解析】 以上命题都是真命题， ∴对应的情况是： 则由表格知A在跳舞，B在打篮球， ∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件， ∴C在散步， 则D在画画， 故答案为画画 19．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则 解析：3 【解析】 uuuruuurOC?OA3oocos?AOC??cos30?uuuruuur因为?AOC?30，所以，从而有 2OC?OAuuur2uuuruuurm|OA|?nOA?OB3?uuur22uuur2uuuruuuruuur．因为22mOA|?nOB|?2mn?OA?OB?OAuuuruuuruuuruuurOA?1,OB?3,OA?OB?0，所以3m23?，化简可得2，整理?2222m?3n4m?3nm可得m2?9n2．因为点C在?AOB内，所以m?0,n?0，所以m?3n，则 m?3 n20．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB中点为D先求出再求PM的最小值得解【详解】设圆心为OAB中点为D由题得取AC中点M由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM最小当圆弧AB的圆心与点PM共线时PM最 解析：5﹣213 【解析】 【分析】 uuuruuuruuuur21uuur2uuuur29设圆心为O,AB中点为D,先求出PC?PA?PM?AC?PM?，再求PM的最小 44值得解. 【详解】 设圆心为O,AB中点为D, 由题得AB?2?2?sin?6?2,?AC?3. uuuvuuuvuuuuv?PA?PC?2PMvuuuvuuuv, ACM取中点，由题得?uuu?PC?PA?ACuuuruuuruuuur21uuur2uuuur29两方程平方相减得PC?PA?PM?AC?PM?， 44uuuruuur要使PC?PA取最小值，就是PM最小， 当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小. 此时DM= 211213, ,?DM?()?3?222所以PM有最小值为2﹣ 代入求得PC?PA的最小值为5﹣213． 故答案为5﹣213 【点睛】 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. uuuruuur13， 2三、解答题 21．见解析． 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用函数的单调性进行推证；（2）借助题设条件运用反证法推证. 试题解析： （1）任取x1，x2?(?1,??)，不妨设x1?x2， 则x2?x1?0，x2?1?0，x1?1?0，又a?1，所以ax2?ax1， x2x1所以f(x2)?f(x1)?a?a?x2?2x1?23(x2?x1)??ax2?ax1??0， x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)故函数f(x)在(?1,??)上为增函数． （2）设存在x0?0（x0??1）满足f(x0)?0， x0则a?x0?2x0?2x00??1，即1?x0?2， ，且0?a?1，所以x0?1x0?12与假设x0?0矛盾，故方程f(x)?0没有负根． 考点：函数单调性的定义及反证法等有关知识的综合运用． 22．（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 5 3（1）先证明AB?AF，又平面ABEF?平面ABCD，即得AF?平面ABCD；（2）以A为原点，以AB，AD，AF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题 uuuvuuuvm?ABcosm,AB?uuuv?得mAB【详解】 2?2??1?4?1??????1?2?63，解方程即得解. （1）证明：∵?BAF?90?，∴AB?AF， 又平面ABEF?平面ABCD，平面ABEFI平面ABCD?AB，AF?平面ABEF， ∴AF?平面ABCD. （2）以A为原点，以AB，AD，AF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A?0,0,0?，B?1,0,0?，C?1,2,0?，D?0,2,0?，F?0,0,1?， uuuruuuvuuuv∴FD??0,2,?1?，AC??1,2,0?，AB??1,0,0? 由题知，AB?平面ADF， uuur∴AB??1,0,0?为平面ADF的一个法向量， uuuvuuuvuuuvP0,2?,1??FP??FD0???1AP设?，∴??0,2?,1???， ??，则?uuuv?m?AP?0v设平面APC的一个法向量为m??x,y,z?，则?uuu， ?m?AC?0∴??2?y??1???z?0?x?2y?0，令y?1，可得m???2,1,??2??， ??1??uuuvuuuvm?ABcosm,AB?uuuv?∴mAB2?2??1?4?1??????1?2?613，得??或???1（舍去）， 3∴PF?5. 3 【点睛】 本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）结合几何体，因为E,G分别是BC,SC的中点，所以EG//SB.，再利用线面平行的判定定理证明. （2）由F,G分别是DC,SC的中点，得FG//SD.由线面平行的判定定理FG//平面 BDD1B1.，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明. 【详解】 证明： （1）如图， 连接SB，QE,G分别是BC,SC的中点， ?EG//SB. 又QSB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1， 所以直线EG//平面BDD1B1. （2）连接SD,QF,G分别是DC,SC的中点， ?FG//SD. 又∵SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1, ?FG//平面BDD1B1. 又EG?平面EFG,FG?平面EFG,EG?FG?G， ∴平面EFG//平面BDD1B1. 【点睛】 本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题. 24．(1)见解析； (2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据DE平行PC即可证明（2）利用PC，可知DE与FG平行且相等，即可证明. 【详解】 证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC. 又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP，所以DE∥平面BCP. (2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG为平行四边形． 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG为矩形． 【点睛】 本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题. 25．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空间坐标系，设平面PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于得解． 【详解】 （1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形， 且AB//DC, AB?AD?2,?ADC?所以BD?22， 又因为CD?4,?BDC?CM?λ，计算平面ABM和CP1，解方程得出λ的值,即可2?2, ?4．根据余弦定理得BC?22, 所以CD2?BD2?BC2，故BC?BD. 又因为BC⊥PD, PD?BD?D,且BD,PD?平面PBD，所以BC⊥平面PBD， 又因为BC?平面PBC，所以平面PBC?平面PBD （2）由（1）得平面ABCD?平面PBD, 设E为BD的中点，连结PE ，因为PB?PD?平面ABCDI平面PBD?BD， 6, 所以PE?BD,PE?2,又平面ABCD?平面PBD， PE?平面ABCD. 间直角坐标系A?xyz， 如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为x,y,z轴正方向，建立空 uuuruuur 则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)， 假设存在M(a,b,c)满足要求，设所以M(2-?,4-3?,2?), uuuuruuurCM??(0???1)，即CM??CP， CPuuuv易得平面PBD的一个法向量为BC?(2,2,0). uuurruuuur设n?(x,y,z)为平面ABM的一个法向量，AB?(0,2,0)， AM=(2-?,4-3?,2?) vvuuur?n?AB?0?2y?0uuuuv由?v得?，不妨取n?(2?,0,??2). (2??)x?(4?3?)y?2?z?0n?AM?0??4?1??因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以， 3224?2?(??2)22解得??2,???2，（不合题意舍去）. 3CM2?. CP3故存在M点满足条件，且【点睛】 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． nn26．（1）an?2，bn?2?1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①，n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②，①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），{an}公比为q，求出an，然后求解bn；（2）化简 cn?1（n∈N*），利用裂项消项法求解数列的和即可． log2anlog2an?1【详解】 （1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn① n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1② ①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2）， ∴a3＝2（b3﹣b2）＝8 ∵a1＝2，an＞0，设{an}公比为q， ∴a1q2＝8，∴q＝2 ∴an＝2×2 n﹣1 ＝2 n∴2b?21?22?23?L?2n?n∴bn＝2n﹣1． （2）证明：由已知：cn?21?2n1?2???2n?1?2， 1111???． log2anlog2an?1n?n?1?nn?1∴c1?c2?c3?L?cn??【点睛】 1111111???L???1??1 1223nn?1n?1本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.
2020-2021泉州现代中学高中三年级数学下期末模拟试卷附答案
