最新北师大版九年级数学上总复习
第一章：1．菱形的定义和性质
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)性质：①菱形的四条边都___________；②菱形的对角线互相______________，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴． [注意] 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形的一切性质． 2．菱形的判定方法
(1)有一组邻边相等的______________是菱形； (2)对角线互相垂直的______________是菱形； (3)四边相等的_____________是菱形．
[辨析] 四边形、平行四边形、菱形关系如图S1－1：
3．菱形的面积
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半． 4．矩形的性质
(1)矩形的对边_______________； (2)矩形的对角___________；(3)矩形的对角线____________、__________； (4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)；
(5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的_________三角形；
(6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_____条，对称中心是对角线的交点．
(7)矩形的面积等于两邻边的_________．[注意] 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的__________． 5．矩形的判定
(1)有一个角是直角的_____________是矩形； (2)有三个角是直角的___________是矩形； (3)对角线相等的______________是矩形． 6．正方形的性质
(1)正方形的对边_________； (2)正方形的四边_________； (3)正方形的四个角都是________；
1
(4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；
(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_________条，对称中心是对角线的交点． 7．正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；
(2)有一组邻边相等的________是正方形； (3)有一个角是直角的________是正方形．
[注意] 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形． 8．中点四边形
中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论： (1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是____________． (2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是________． (3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是________． (4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__________． (5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是________．
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是________；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是________．
? 考点一 菱形的性质和判定
例1 如图S1－2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB， AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：四边形AEOF是菱形．
方法技巧
在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.
例2 如图S1－3，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F点处． 已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
方法技巧
矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来 考点3;和正方形有关的探索性问题
例3 如图S1－4，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE＝3，CE＝2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值．
2
上册第二章复习 1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． [注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程． 2．一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 、 和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 3．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝ ；当b＜0时，方程没有实数根． 4．配方法
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1； ②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根． 5．公式法
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝ (2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 6．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解． 7．一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根． 反之，结论也成立．
8．一元二次方程根与系数的关系
b
?x＋x＝－，12?a
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则?
c
??x1·x2＝a.9．列方程解应用题的一般步骤
(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．
(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． (4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． (5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
3
考点一 用配方法解方程例
1 用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.
考点二 用分解因式法解方程例
2 用分解因式法解方程：(x－3)2＋3－x＝0. 方法技巧
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以利用因式分解法解一元二次方程．用式子表示：若a·b＝0，则a＝0或b＝0，反之也成立．有时遇到解高次方程时，也可以利用这种方式降次．如x4－16＝0，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝0，其左边是三个因式，其中有一个二次的因式，其余两个是一次的因式．分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想． 考点三 用公式法解方程
例3 用公式法解方程：x2＋x－1＝0. 方法技巧
根据公式法，我们可以利用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况：当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．反之，知道一元二次方程根的情况，也可以判断b2－4ac的符号．
考点四 增长率问题
例4 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 方法技巧
列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等．思想方法 整体思想，分类讨论思想 第三章：知识归纳： 1．频率与概率
(1)当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的 附近．因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的 来估计这一事件发生的 .
(2)涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的计算方法，它们分别是 、 . [注意] 用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同． 2．试验估算
估计复杂的随机事件发生的概率常用的方法是实验估算，但有时试验和调查既费时又费力，个别的试验和调查根本无法进行．此时我们可采用模拟实验的方法． 3．池塘里有多少条鱼
一个口袋中有m个黑球(已知)和若干个白球，如果不许将球倒出来数，则有两种方法可以估计出其中的白球数x：
4
法一：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，通过多次试验，我们可以估计出从口袋中随机摸出一球，它为黑球的概率，而这个概率应等于 .据此可估计出白球数x.
法二：利用抽样调查方法，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数比值的“ ”，这个“ ”应近似于 ，据此，我们也可以估计出x的值． ? 考点一 利用频率估计概率
例1 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼可估计为( )
A．3000条 B．2200条 C．1200条 D．600条 方法技巧
这个问题可以转化为一般问题：为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼
an
放归鱼塘．再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为. b考点二 利用概率帮助说理
例2 甲袋中放有21只红球和9只黑球，乙袋中放有190只红球，90只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已搅匀，随机从袋子中取出一只球，如果你想取出1只黑球，选择________袋成功的机会大． 第四章：知识点归纳： 1．线段的比的定义
在同一单位长度下，两条线段______________的比叫做这两条线段的比． 2．成比例线段
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ______________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段。 3．比例的性质
(1)比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么__________．
ac
(2)合(分)比性质：若＝，则_______________．
bd
a＋c＋?＋maacem
(3)等比性质：若＝＝＝?＝，且(b＋d＋f＋?＋n≠0)，则＝ bdfnb＋d＋?＋nb4．平行线分线段成比例定理及推论
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段_____________． 5．相似多边形的定义
对应角________，对应边____________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形_________________叫做相似比． 注意：判定两个多边形相似，对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可． 6．相似多边形的性质
相似多边形的对应角__________，对应边____________．周长的比等于___________，面积的比等于__________________． 7．相似三角形的定义
对应角_________，对应边______________的8．相似三角形判定方法 ①__________________；②__________________； ③____________________________．
两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种情形之一：两个三角形叫做相似三角形．相似三角形_________________叫做相似比．
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，问题即可得以解决．
5
最新北师大版九年级数学上总复习
