2010年杭州市“思维数学”夏令营
数学竞赛试题卷
同学们请注意：
1． 本试题卷共有三大题20个小题，满分120分，考试时间90分钟.
2． 把解答做在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效; 竞赛结束后, 只须上交答题卷, 试
题卷请自己保管, 供老师讲评试卷时使用. 3. 本次竞赛获奖学生名单,将在杭州中学数学网()公布.
一. 选择题 (本题有10个小题, 每小题4分, 共40分)
1. 如果m是大于1的偶数，那么m一定小于它的 （ ） (A) 相反数 (B) 倒数
(C) 绝对值
(D) 平方
(第2题)
2. 有理数a,b,c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ） (A)a?b?c＞0 (B)a?b?c (C)| a – c | = |a| + c (D)| b – c | > | c – a |
3. 如图，在4?4的正方形网格中，?1，?2，?3的大小关系是（ ）．
（A）?1??2??3 （B）?1??2??3 （C）?1??2??3 （D）?1??2??3 4. 2
55443322
(第3题)
，3，5
55，6这四个数中最小的数是 （ ）
44 (A) 2 (B) 3 (C) 5
33 (D) 6
22
(第5题)
5. 如图，两个标有数字的轮子可以分别绕中心旋转，旋转停止时，每个轮子上的箭头各指轮子上的一个数字，若左图上方箭头指着的数字为a，
右图中指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数
m等于（ ） n1153 (A) (B) (C) (D)
26124对个数为m，则
6. |x + 2 | + | x – 2 | + |x – 1 |的最小值是 （ B ） (A) 5 (B) 4 (C)3 (D) 2
7. 把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）．
(第7题)
(A) 21 (B) 24 (C) 33 (D) 37
8. 下面有三个命题：①五边形至少有两个钝角，②十二边形共有54条对角线，③内角和等于外角和的多边形的边数为4。其中正确命题的个数（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
9. 如图所示．∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F的度数是（ ）
(第9题)
（A）30° （B）40° （Ｃ）50° （Ｄ）60°
10. 如图圆中的阴影部分面积占圆面积的
1，占长方形面积的611；三角形中阴影部分面积占三角形面积的，占长方形面591积的. 则圆、长方形、三角形的面积比 ( )
4(A) 24:20:45 (B) 12:10: 22 (C) 48: 40: 89 (D) 20:28:42
(第10题)
二. 填空题 (本题有5个小题, 每小题6分, 共30分) 11. 某市初中毕业考试各学科及满分值情况如下表：
科 目 满分值 语文 数学 英语 科学 社会 120 120 100 180 80
若把该市初中毕业考试各学科满分值比例绘成扇形统计图，则数学所在的扇形的圆心角是________度．
12. 已知x＜0，– 1 ＜y＜0， 由x，xy，xy2中，最大的数是 ; 最小的数是 . 13. 如图，不同的线段共有 条.
14．若有5个整数x使得不等式1 + a ? x < 2成立，则a
的取值范围是 .
15. 电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是20，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数是 .
三. 解答题 (本题有5个小题, 每小题10分, 共50分)
16. (本题10分) 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5
小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．
(第16题)
(第13题)
17. (本题10分) 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量 收费标准（元/吨） 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 2.00 2.50 3.00 (1)某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ (2)要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？
18. (本题10分) 对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn . （1）求面积S1 ; （2）求面积Sn .
(第18题)
19. (本题10分) 已知x = by+cz，y = cz+ax，z = ax+by，且x+y+z ≠ 0。 （1）试用x, y, z这3个字母表示a; （不能出现字母b,c） （2）试说明：
20. (本题10分) 在密码学中，称直接可以看懂的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。规定26个英文字母按顺序分别对应整数0到25。现有一个由4个字母构成的密码单词，若记4个字母对应的数字分别为x1，x2，x3，x4，且已知整数
abc???1. 1?a1?b1?cx1?2x2，3x2，x3?2x4，3x4除以26的余数分别为9，16，23，12，试求这个密码
单词.
2010年杭州市“思维数学”夏令营
数学竞赛评分标准
一. 选择题 (本题有10个小题, 每小题4分, 共40分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 C 10 A 二. 填空题 (本题有5个小题, 每小题6分, 共30分) 11. 72 12. xy ;x 13. 15 14．– 5 三. 解答题 (本题有5个小题, 每小题10分, 共50分) 16. (本题10分) 设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10 – x)厘米．由线段基本性质知x＜10 – x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米． 5分 最长边x ? 2 4分 得 2 ? x ? 5 1分 17. (本题10分) （1）设该用户5月份的用水量为x吨，根据题意得： 12×2+6×2.5+3（x-18）= 45 解得x=20 答：该用户5月份的用水量为20吨。 4分 （2）设该用户月用水量为x吨， 若x > 18时，12?2 + 2.5 ? 6 = 39 > 30（元），所以只能x < 18。 若x< 12，则由2x ? 20，得x ? 10; 若12? x < 18 ，则由24 + 2.5(x – 12) ?30 , 得 x ? 14. 04, 所以 10? x? 14. 04, 答： 该户的月用水量应该控制在10吨到14.04吨之间。 6分 18. (本题10分) 连BC1，∵C1A = 2CA，∴S△ABC1 = 2S△ABC ， 同理：S△A1BC1 = 2S△ABC1 = 4S△ABC ， ∴S△A1 AC1 = 6S△ABC ， 同理： S△A1BB1 = S△CB1C1 = 6S△ABC ， ∴S△A1B1C1 = 19S△ABC ，即S1 = 19S0 ( S0 = S△ABC = 1） 6分 (2)同理，S2 = 19S1 = 192S0， S3 = 193S0 ，…， Sn = 19nS0 = 19n。 4分
浙江省杭州市2010年“思维数学”夏令营数学竞赛试题卷（含答案）
