也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响
金彪
（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）
贵刊（《物理教师》）2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文，指出了贵刊（同上）2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误，认为“一质量为m的弹簧与物体M（视为质点）组成的一个‘弹簧振子’，弹簧振子的振动周期为
M?T?2?km2。”的结论是错误的，并经过计算后得出：一质量为m的弹簧与一质量为
m3。而笔者认为此结论同样是
M?M的质点组成的“弹簧振子”震动周期为：T?2?k错误的，我们可以先假设M?0，即去掉质点M,让质量为m的弹簧自由振动，振动稳定时，振动的周期由上式得T?2?m。这个结论是否正确呢？总长3k度为L，质量为m，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？
O P
图1
设另有一根弹簧的总长度很长，质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为??m，劲L度系数为k。让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L，则相邻波腹与波节的距离恰好为L。由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。由于固体中弹性纵波的波速
v?Y? （1）
其中Y为杨氏模量，ρ为密度，对于上述弹簧来说，等效密度和杨氏模量分别为：
??mkL, Y?，代入（1）式得： LSSkL2 （2） v?m欲使弹簧波波长为4L，则图1弹簧的固有周期为：
T??v?4LkL2m?4m （3） k由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。那么为什么会引起这样的错误呢？该文认为：“对距O点为l的一小段弹簧?l，其振动速度可表示为
v?vA12l。”并且“弹簧的弹性势能kx”，这两个关系式的前提都是弹簧的形变量是均匀
2L的。事实上当弹簧的质量不能忽略时，弹簧的形变量是不均匀的，离固定点O越近的地方
受到的弹力越大，形变量也就越大（示意图如图2所示）。这是该文结论为什么会错的原因。那么“一质量为m的弹簧与一质量为M的质点组成的‘弹簧振子’震动周期”为多少呢？
设某时刻物体M离开其平衡位置的位移为xM，速度为vM，加速度为aM；而平衡位置距O点为l的一小段弹簧dl离开其平衡位置的位移为x，速度为v，加速度为a。由于所有质点的振动都同相，则有：
M O P
图2
avx。又??aMvMxMkLkL?dxm?dl，则其弹力为，质量为。其dldlL由于每一段弹簧离开平衡位置的位移都等于它左侧所有小段的伸长量之和，则距O点为l的一小段弹簧dl的伸长量为dx，劲度系数为
与相邻小段弹簧的弹力差，即其所受合力为f?d??kL?dx?amdlaMxmdl。化简可得： ???dlLxL??MaMmd2x?x 22dlxMkL由于M物体振动时的aM与xM反向，即
aM为负值，则根据常微分方程的理论，上面xM微分方程的解可写作x?Asin(?aMml??)。其中A为与M离开平衡位置的位移有关xMkL2的变量，由于O点附近的质元离其平衡位置的位移趋向于零，可得θ=0。
即：x?Asin?aMml （4） 2xMkL则每一小段弹簧的形变量为
dx?A?aMmaMm?cos?l?dl 22xMkLxMkL相应的小段弹簧弹力为
F?amkamdx?kL?A?M?cos?M2l （5） dlxMxMkL对于连接M物体的那小段弹簧，l?L，代入（5）式得
F?A?aMmkam?cos?M?MaM （6） xMxMk当M?0时，即没有物体M时： F?0
由（6）式得：
?aMm?? xMk2aM???2k4mxM???2xM （7）
T?2???4m （8） k得到与（3）式相同的结论。
而当m?0时，即弹簧质量忽略。
d2x?0 dl2则每一小段弹簧的形变量dx都相等，即弹簧的形变是均匀的，此时的弹簧振子即我们平时看到的弹簧质量可忽略的理想弹簧振子，其周期为T?2?M k当M?0,m?0时，由（6）式得：cos?aMmM?xMkA?aMxM （9） mk 由（4）得：xM?Asin?2aMm （10） xMk设aM????xM，将之与（10）式一起代入（9）式得：
cos(M?xMm?)?kmAmM??kmmm??sin(?) kktan(mmm?)??? （11） kkMm为特殊值M上式中M、m、k为定值，?为我们所求弹簧振子的圆频率。显然只有当时，该超越方程才有精确解，否则只能是近似解。例如：
当
m?0，即m?0时， M2?m?mmm??tan(?)????? （12）
?k?kkM????k M此即理想弹簧振子的圆频率。 当
M?0，即M?0时， mm??? k2T?2??4m k?即可得与（8）式一样的结论。 当
m???，??M44k mk等等。 m当
?m??，??M33而此时弹簧振子的机械能有三部分组成：振子的动能、弹簧的动能和弹性势能。
E??L1L1kL12MvM????v2?dl????dx20202dl2222?L1kL?m?m??dl????A?cosl?dl?2202dl??kLkL??22L1m?vx?12M??MvM???022L?xM????m?2????sinl22mvML?1kLL?kL?2?MvM??dl?xM?????00222L2?sinm??????k???m??cosl?22m?kL???dl2?2kLm??sin?k?222??2???????1?cos?2m?l???1?cos?2m?l??22?????222???kLkLLLmvMmxM?1??????dl2???dl???MvM?0?0?2?2?222??m?m?222Lsin2Lsin????????kk?????m?2??m?2?222??mx?sin?2??mvM?sin?2M??22k?k?mvM?mxM?21????2?MvM??2m?2m?2m?2224sin2?4sinkkk
由振动中能量不变，将上式两边在时间上求导，并将aM???xM代入得：
2?m?2?mvM?aM?mvM?xM?sin?2?kmvM?aM?mvM?xM?2?0?MvM?aM??2m?m?2m?2222sin4?sinkkk?2??????m?22?mvM?xM?sin?2?k??MvM?aM?0?m?2m?224?sinkkmvM?xM?22??MvM?xM???m?2m?2?tankk2???? 可得：
mmm???tan? Mkk与（12）式的结论一样。
弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响
