2020北京市高三一模数学理分类汇编2：导数.
【2020北京市海淀区一模理】（12）设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q,P分别表
示需求量和价格，如果商品需求弹性
EQQ'EQ=-P，Q'是Q的导数）大于1（其中，则
EPQEP商品价格P的取值范围是 . 【答案】(10,20)
【2020北京市门头沟区一模理】10．曲线y?x与直线x?1及x轴所围成的图形的面积为 ． 【答案】
31 4【2020北京市门头沟区一模理】18．(本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?ax?（Ⅰ）当0?a?1?a?1． x1时，讨论函数f(x)的单调性； 212（Ⅱ）设g(x)?x?2bx?4，当a?时，若对任意x1?(0,2)，当x2?[1,2]时，
4f(x1)?g(x2)恒成立，求实数b的取值范围．
11?a?ax2?x?(1?a)【答案】解：（Ⅰ）f(x)??a?2? ……………2分
xxx2/??/[ax?(1?a)](x?1)(x?0) 2x令f(x)?0
1?a,x2?1 ……………3分 a1当a?时，f?(x)?0，函数f(x)在(0,??)上单减 ………4分
211?a当0?a?时，?1，
2a1?a在(0,1)和(,??)上，有f?(x)?0，函数f(x)单减，
a1?a在(1,)上， f?(x)?0，函数f(x)单增 ……………6分
a得x1?（Ⅱ）当a?11?a13时，?3，f(x)?lnx?x??1 4a44x由（Ⅰ）知，函数f(x)在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数f(x)在(0,2)的最小值为f(1)??1…………………8分 2若对任意x1?(0,2)，当x2?[1,2]时，f(x1)?g(x2)恒成立， 只需当x?[1,2]时，gmax(x)??1即可 21?g(1)????2所以?，…………………11分
1?g(2)????2代入解得 b?11 411,??)． …………………13分 4所以实数b的取值范围是[【2020北京市朝阳区一模理】18. （本小题满分13分）
eax,a?R. 设函数f(x)?2x?1 （Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)单调区间.
eaxeax(ax2?2x?a),所以f?(x)?【答案】解：因为f(x)?2.
(x2?1)2x?1ex(x2?2x?1)ex （Ⅰ）当a?1时, f(x)?2,f?(x)?, 22(x?1)x?1 所以f(0)?1, f?(0)?1.
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x?y?1?0. ……………4分
eax(ax2?2x?a)eax2?(ax?2x?a)， ……………5分 （Ⅱ）因为f?(x)?2222(x?1)(x?1) （1）当a?0时,由f?(x)?0得x?0；由f?(x)?0得x?0.
所以函数f(x)在区间(??,0)单调递增, 在区间(0,??)单调递减. ……………6分 （2）当a?0时, 设g(x)?ax?2x?a，方程g(x)?ax?2x?a?0的判别式
22??4?4a2?4(1?a)(1?a), ……………7分
①当0?a?1时，此时??0.
1?1?a21?1?a2 由f?(x)?0得x?,或x?；
aa1?1?a21?1?a2?x? 由f?(x)?0得. aa1?1?a21?1?a2)和(,??), 所以函数f(x)单调递增区间是(??,aa 1?1?a21?1?a2,). ……………9分 单调递减区间(aa
②当a?1时，此时??0.所以f?(x)?0，
所以函数f(x)单调递增区间是(??,??). ……………10分 ③当?1?a?0时，此时??0.
1?1?a21?1?a2?x? 由f?(x)?0得； aa1?1?a21?1?a2 由f?(x)?0得x?,或x?.
aa1?1?a21?1?a2)和(,??), 所以当?1?a?0时,函数f(x)单调递减区间是(??,aa 1?1?a21?1?a2,). ……………12分 单调递增区间(aa
④当a??1时, 此时??0，f?(x)?0，所以函数f(x)单调递减区间是(??,??). 【2020北京市东城区一模理】(18)（本小题共14分）
已知函数f(x)?12x?2ex?3e2lnx?b在(x0,0)处的切线斜率为零． 2（Ⅰ）求x0和b的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立； (Ⅲ) 若函数F(x)?f?(x)?a有最小值m，且m?2e，求实数a的取值范围. x3e2【答案】（Ⅰ）解：f?(x)?x?2e?. …………2分
x3e2由题意有f?(x0)?0即x0?2e?．…4分 ?0，解得x0?e或x0??3e（舍去）
x0得f(e)?0即
121e?2e2?3e2lne?b?0，解得b??e2． …………5分 2212e22（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)?x?2ex?3elnx?(x?0)，
223e2(x?e)(x?3e)?x?2e??(x?0)． f?(x)xx在区间(0,e)上，有f?(x)?0；在区间(e,??)上，有f?(x)?0． 故f(x)在(0,e)单调递减，在(e,??)单调递增，
于是函数f(x)在(0,??)上的最小值是f(e)?0． …………9分 故当x?0时，有f(x)≥0恒成立． …………10分
aa?3e2(Ⅲ)解： F(x)?f?(x)??x??2e(x?0)．
xxa?3e2?2e?2a?3e2?2e，当且仅当x?a?3e2当a?3e时，则F(x)?x?x2时等号成立，故F(x)的最小值m?2a?3e?2e?2e，符合题意； …………13分
当a?3e2时，函数F(x)?x?2e在区间(0,??)上是增函数，不存在最小值，不合
题意；
2a?3e2?2e在区间(0,??)上是增函数，不存在最小当a?3e时，函数F(x)?x?x2值，不合题意．
综上，实数a的取值范围是(3e,??)． …………14分
【2020北京市石景山区一模理】18．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x?2alnx.
（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；
22 （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）若函数g(x)?2?f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围. x2a2x2?2a?【答案】解：（Ⅰ）f'(x)?2x? …………1分 xx 由已知f'(2)?1，解得a??3. …………3分
（II）函数f(x)的定义域为(0,??).
（1）当a?0时, f'(x)?0，f(x)的单调递增区间为(0,??)； ……5分
（2）当a?0时f'(x)?2(x??a)(x??a).
x 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下：
x f'(x) f(x) (0,?a) - ?a (?a,??) 0 极小值 + 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,?a)；
单调递增区间是(?a,??). …………8分 （II）由g(x)?222a，…………9分 ?x2?2alnx得g'(x)??2?2x?xxx 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g'(x)?0在[1,2]上恒成立，
22a?2x??0在[1,2]上恒成立. 2xx1 即a??x2在[1,2]上恒成立. …………11分
x111令h(x)??x2，在[1,2]上h'(x)??2?2x??(2?2x)?0，
xxx7所以h(x)在[1,2]为减函数. h(x)min?h(2)??,
27 所以a??. …………14分
2即?
北京市2020高三数学一模分类汇编2 导数 理
