2020北京市高三一模数学理分类汇编2:导数.
【2020北京市海淀区一模理】(12)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q,P分别表
示需求量和价格,如果商品需求弹性
EQQ'EQ=-P,Q'是Q的导数)大于1(其中,则
EPQEP商品价格P的取值范围是 . 【答案】(10,20)
【2020北京市门头沟区一模理】10.曲线y?x与直线x?1及x轴所围成的图形的面积为 . 【答案】
31 4【2020北京市门头沟区一模理】18.(本小题满分13分)
已知函数f(x)?lnx?ax?(Ⅰ)当0?a?1?a?1. x1时,讨论函数f(x)的单调性; 212(Ⅱ)设g(x)?x?2bx?4,当a?时,若对任意x1?(0,2),当x2?[1,2]时,
4f(x1)?g(x2)恒成立,求实数b的取值范围.
11?a?ax2?x?(1?a)【答案】解:(Ⅰ)f(x)??a?2? ……………2分
xxx2/??/[ax?(1?a)](x?1)(x?0) 2x令f(x)?0
1?a,x2?1 ……………3分 a1当a?时,f?(x)?0,函数f(x)在(0,??)上单减 ………4分
211?a当0?a?时,?1,
2a1?a在(0,1)和(,??)上,有f?(x)?0,函数f(x)单减,
a1?a在(1,)上, f?(x)?0,函数f(x)单增 ……………6分
a得x1?(Ⅱ)当a?11?a13时,?3,f(x)?lnx?x??1 4a44x由(Ⅰ)知,函数f(x)在(0,1)上是单减,在(1,2)上单增 所以函数f(x)在(0,2)的最小值为f(1)??1…………………8分 2若对任意x1?(0,2),当x2?[1,2]时,f(x1)?g(x2)恒成立, 只需当x?[1,2]时,gmax(x)??1即可 21?g(1)????2所以?,…………………11分
1?g(2)????2代入解得 b?11 411,??). …………………13分 4所以实数b的取值范围是[【2020北京市朝阳区一模理】18. (本小题满分13分)
eax,a?R. 设函数f(x)?2x?1 (Ⅰ)当a?1时,求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)单调区间.
eaxeax(ax2?2x?a),所以f?(x)?【答案】解:因为f(x)?2.
(x2?1)2x?1ex(x2?2x?1)ex (Ⅰ)当a?1时, f(x)?2,f?(x)?, 22(x?1)x?1 所以f(0)?1, f?(0)?1.
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x?y?1?0. ……………4分
eax(ax2?2x?a)eax2?(ax?2x?a), ……………5分 (Ⅱ)因为f?(x)?2222(x?1)(x?1) (1)当a?0时,由f?(x)?0得x?0;由f?(x)?0得x?0.
所以函数f(x)在区间(??,0)单调递增, 在区间(0,??)单调递减. ……………6分 (2)当a?0时, 设g(x)?ax?2x?a,方程g(x)?ax?2x?a?0的判别式
22??4?4a2?4(1?a)(1?a), ……………7分
①当0?a?1时,此时??0.
1?1?a21?1?a2 由f?(x)?0得x?,或x?;
aa1?1?a21?1?a2?x? 由f?(x)?0得. aa1?1?a21?1?a2)和(,??), 所以函数f(x)单调递增区间是(??,aa 1?1?a21?1?a2,). ……………9分 单调递减区间(aa
②当a?1时,此时??0.所以f?(x)?0,
所以函数f(x)单调递增区间是(??,??). ……………10分 ③当?1?a?0时,此时??0.
1?1?a21?1?a2?x? 由f?(x)?0得; aa1?1?a21?1?a2 由f?(x)?0得x?,或x?.
aa1?1?a21?1?a2)和(,??), 所以当?1?a?0时,函数f(x)单调递减区间是(??,aa 1?1?a21?1?a2,). ……………12分 单调递增区间(aa
④当a??1时, 此时??0,f?(x)?0,所以函数f(x)单调递减区间是(??,??). 【2020北京市东城区一模理】(18)(本小题共14分)
已知函数f(x)?12x?2ex?3e2lnx?b在(x0,0)处的切线斜率为零. 2(Ⅰ)求x0和b的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内f(x)≥0恒成立; (Ⅲ) 若函数F(x)?f?(x)?a有最小值m,且m?2e,求实数a的取值范围. x3e2【答案】(Ⅰ)解:f?(x)?x?2e?. …………2分
x3e2由题意有f?(x0)?0即x0?2e?.…4分 ?0,解得x0?e或x0??3e(舍去)
x0得f(e)?0即
121e?2e2?3e2lne?b?0,解得b??e2. …………5分 2212e22(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)?x?2ex?3elnx?(x?0),
223e2(x?e)(x?3e)?x?2e??(x?0). f?(x)xx在区间(0,e)上,有f?(x)?0;在区间(e,??)上,有f?(x)?0. 故f(x)在(0,e)单调递减,在(e,??)单调递增,
于是函数f(x)在(0,??)上的最小值是f(e)?0. …………9分 故当x?0时,有f(x)≥0恒成立. …………10分
aa?3e2(Ⅲ)解: F(x)?f?(x)??x??2e(x?0).
xxa?3e2?2e?2a?3e2?2e,当且仅当x?a?3e2当a?3e时,则F(x)?x?x2时等号成立,故F(x)的最小值m?2a?3e?2e?2e,符合题意; …………13分
当a?3e2时,函数F(x)?x?2e在区间(0,??)上是增函数,不存在最小值,不合
题意;
2a?3e2?2e在区间(0,??)上是增函数,不存在最小当a?3e时,函数F(x)?x?x2值,不合题意.
综上,实数a的取值范围是(3e,??). …………14分
【2020北京市石景山区一模理】18.(本小题满分14分)
已知函数f(x)?x?2alnx.
(Ⅰ)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
22 (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数g(x)?2?f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围. x2a2x2?2a?【答案】解:(Ⅰ)f'(x)?2x? …………1分 xx 由已知f'(2)?1,解得a??3. …………3分
(II)函数f(x)的定义域为(0,??).
(1)当a?0时, f'(x)?0,f(x)的单调递增区间为(0,??); ……5分
(2)当a?0时f'(x)?2(x??a)(x??a).
x 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x f'(x) f(x) (0,?a) - ?a (?a,??) 0 极小值 + 由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,?a);
单调递增区间是(?a,??). …………8分 (II)由g(x)?222a,…………9分 ?x2?2alnx得g'(x)??2?2x?xxx 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,
则g'(x)?0在[1,2]上恒成立,
22a?2x??0在[1,2]上恒成立. 2xx1 即a??x2在[1,2]上恒成立. …………11分
x111令h(x)??x2,在[1,2]上h'(x)??2?2x??(2?2x)?0,
xxx7所以h(x)在[1,2]为减函数. h(x)min?h(2)??,
27 所以a??. …………14分
2即?