第一讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
π??1．(2024·湖北七校联考)要得到函数y＝sin?2x＋?的图象，只需将函数y＝sin 2x3??的图象( )
π
A．向左平移个单位长度
6π
B．向右平移个单位长度
3π
C．向左平移个单位长度
3π
D．向右平移个单位长度
6
π?π???π??解析：∵y＝sin?2x＋?＝sin?2?x＋??，∴只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移3?6??6???π??个单位长度即可得到函数y＝sin?2x＋?的图象． 3??
答案：A
π??2．(2024·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin?2x－?的图象，只需把函数y＝
3??4π??cos?2x－?的图象( ) 3??πA．向左平移个单位长度 4πB．向右平移个单位长度 4πC．向左平移个单位长度 2π
D．向右平移个单位长度
2
4π??4π??π????5π??解析：y＝cos?2x－?＝sin?＋?2x－??＝sin?2?x－??，故要得到函数y＝3??3?12??????2?π?π??π??5π?π
sin?2x－?的图象，只需要平移?x－?－?x－?＝个单位长度，又>0，所以应向左
3?6??12?44??平移，故选A.
答案：A
3．函数f(x)＝sinx＋3sin xcos x在?A．1 C．1＋3
2
?π，π?上的最小值是( )
??42?
B.1＋3
2
3D. 2
π?1113?2
解析：f(x)＝sinx＋3sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin?2x－?＋，因为6?2222?ππππ5ππ5ππ2
≤x≤，所以≤2x－≤，所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)＝sinx4236666211
＋3sin xcos x取得最小值，且最小值为＋＝1.
22
答案：A
4．(2024·高考全国卷Ⅲ)函数?(x)＝A.π 4
tan x2的最小正周期为( ) 1＋tanxB.π 2
C．π D．2π sin xcos x1＝2x·cos x＝sin 2＝sin cosx＋sinx222cosxsin xcos xtan x解析：由已知得?(x)＝2＝1＋tanxsin x1＋cos x2π2x，所以?(x)的最小正周期为T＝＝π.
2故选C. 答案：C π
5．(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－2π<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
2πA．－ 3πC．－ 6
B.D.π 3π 6
Tπππ2π
解析：由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，
2362ω
πππ?π??2π?所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f??＝sin?＋φ?＝0，－<φ<，所以φ＝，故选
223?3??3?B.
2
答案：B
π?1?6．(2024·湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝sin?ωx－?＋，ω>0，x∈R，且f(α)6?2?113π
＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为( )
224
?π?A.?－＋2kπ，π＋2kπ?，k∈Z ?2??π?B.?－＋3kπ，π＋3kπ?，k∈Z ?2?
5π??C.?π＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z
2??5π??D.?π＋3kπ，＋3kπ?，k∈Z 2??
113πT3π2π
解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，
22444ω2
所以ω＝，
3
?2π?1
所以f(x)＝sin?x－?＋，
6?2?3
π2ππ
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
2362π
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.
2答案：B
7．(2024·郑州质检)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是→→→→
该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)的值为( )
A．－1 1C． 2
1B．－ 2D．2
→→→→→→→→→→2→
解析：(BD＋BE)·(BE－CE)＝(BD＋BE)·BC＝2BC·BC＝2|BC|，显然|BC|的长度为半2π→
个周期，周期T＝＝2，∴|BC|＝1，所求值为2.
π
3
答案：D
π??8．(2024·成都模拟)设函数f(x)＝sin?2x＋?，若x1x2<0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则3??|x2－x1|的取值范围为( )
A.?C.?
?π，＋∞?
?
?6??2π，＋∞?
?
?3?
B.?D.?
?π，＋∞?
?
?3??4π，＋∞?
?
?3?
解析：f(x1)＋f(x2)＝0?f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，
因为x1x2<0，且当直线y＝m过y＝f(x)的图象与y轴的交点?0，
?
?33?
直线为y＝，?时，
22?
π|AB|＝，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y＝m向下移动时，
3π
线段AB的长度也会增加，所以|x2－x1|>. 3
答案：B 9．已知函数f(x)＝sin(x＋φ)－2cos(x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝π对称，则cos 2φ＝( ) 3A. 54C. 5
3B．－ 54D．－ 5
255
解析：由题意可得f(x)＝5sin(x＋φ－γ)，其中sin γ＝，cos γ＝.当x55π
＝π时，由π＋φ－γ＝kπ＋，得2φ＝2kπ－π＋2γ，则cos 2φ＝cos(2kπ－π＋
2322
2γ)＝－cos 2γ＝sinγ－cosγ＝.故选A.
5
答案：A
4
10．(2024·广西三市联考)已知x＝
π
是函数f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋12
3π
个单位长度后得到函数4
φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移
?ππ?g(x)的图象，则函数g(x)在?－，?上的最小值为( )
?
4
6?
A．－2 C．－2
B．－1 D．－3
ππ??解析：∵x＝是f(x)＝2sin?2x＋＋φ?图象的一条对称轴，
612??ππ
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 32π
即φ＝＋kπ(k∈Z)．
6
π?π?∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin?2x＋?， 3?6?7π?5π???∴g(x)＝2sin?2x－?＝2sin?2x＋?.
6?6???πππ5π7π
又∵－≤x≤，∴≤2x＋≤，
463665π??∴－1≤2sin?2x＋?≤2.
6??
?ππ?∴g(x)在?－，?上的最小值为－1.
?46?
答案：B
?π?11．已知函数f(x)＝1＋2cos x cos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈?0，?，则下列关
2??
于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是( )
?ππ?A．g(x)在区间?－，?上的最小值为－1
?123?
π
B．g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得3到
?π?C．g(x)的图象的一个对称中心是?－，0? ?12??π?D．g(x)的一个单调递减区间是?0，?
2??
解析：∵函数f(x)＝1＋2cos xcos(x＋3φ)是偶函数，y＝1，y＝2cos x都是偶函数，
5
2024高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质能力训练 理
