?x?c?x?c?22y2??xb【解析】联立?2?2?1，解得?b2，所以BF?.
a?y???aba?222??a?b?cb2BF22?3，AF?c?a，即a?c?a?3，变形得c?a?3a，c?2a, 依题可得，AFc?aa?c?a?因此，双曲线C的离心率为2. 故答案为：2．
x2y24、【2020年全国3卷】设双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P
ab是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 【答案】A 【解析】
B. 2
C. 4
D. 8
c?5，?c?5a，根据双曲线的定义可得PF1?PF2?2a， a1|PF1|?PF2?4，即|PF1|?PF2?8， 222S△PF1F2?F1P?F2P，?|PF1|2?PF2??2c?，
??PF1?PF2故选：A.
?2?2PF1?PF2?4c2，即a2?5a2?4?0，解得a?1，
x2y225、【2020年天津卷】设双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，过抛物线y?4x的焦点和点(0,b)的直
ab线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
x2y2A. ??1
44【答案】D
y2B. x??1
42x2C. ?y2?1
4D. x2?y2?1
【解析】由题可知，抛物线的焦点为?1,0?，所以直线l的方程为x?又双曲线的渐近线的方程为y??故选：D．
11
y?1，即直线的斜率为?b， bbbbx，所以?b??，?b???1，因为a?0,b?0，解得a?1,b?1． aaa 6、0）A0）B0）【2020年浙江卷】已知点O（0，，（–2，，（2，．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=34?x2图像上的点，则|OP|=（ ） A.
22 2B.
410 5C.
7
D.
10
【答案】D
【解析】因为|PA|?|PB|?2?4，所以点P在以A,B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由c?2,a?1可得，b?c?a222y2?4?1?3，即双曲线的右支方程为x??1?x?0?，而点P还在函数
32y?34?x2的图象上，所以，
?13?y?34?x2x????132722由?，解得，即OP???10． ?y244?1?x?0??x??y?333???2故选：D.
x2y27、【2020年全国2卷】设O为坐标原点，直线x?a与双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别
ab交于D,E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ） A. 4 【答案】B 【解析】
B. 8
C. 16
D. 32
x2y2C:2?2?1(a?0,b?0) ab?双曲线的渐近线方程是y??bx ax2y2直线x?a与双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别交于D，E两点
ab不妨设D为在第一象限，E在第四象限
?x?a?x?a?联立? b，解得?y?by?x??a?故D(a,b)
1 2
?x?a?x?a?联立?，解得 b?y??by??x??a?故E(a,?b)
?|ED|?2b
?ODE面积为：S△ODE?1a?2b?ab?8 2x2y2双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)
ab?其焦距为2c?2a2?b2?22ab?216?8
当且仅当a?b?22取等号
?C的焦距的最小值：8
故选：B.
x2y28、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，O为坐标原点，以
abOF为直径的圆与圆x2?y2?a2交于P，Q两点．若PQ?OF，则C的离心率为
A．2 C．2 【答案】A
【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ?x轴， 又
B．3 D．5
cPQ?|OF|?c，?|PA|?,?PA为以OF为直径的圆的半径，
2c?cc?，?P?,?， 2?22?222∴|OA|?c2c2c2c2222又P点在圆x?y?a上，???a，即?a,?e?2?2．
442a?e?2，故选A．
1 3
x2y29、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：?=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为
42坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为
A．
32 4 B．
32 2C．22 【答案】A
D．32 【解析】由a?2,b?2,c?a2?b2?6,PO?PF,?xP?6， 2又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y?bb263x上，则yP??xP?， ??aa222?S△PFO?11332，故选A． OF?yP??6??2224
10、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是 A．2 2B．1
C．2 【答案】C
D．2
【解析】因为双曲线的渐近线方程为x?y?0，所以a?b，则c?a2?b2?2a，所以双曲线的离心率e?c?2.故选C. a1 4
x211、【2018年高考浙江卷】双曲线?y2?1的焦点坐标是
3A．(?2，0)，(2，0) B．(?2，0)，(2，0) C．(0，?2)，(0，2) D．(0，?2)，(0，2) 【答案】B
x2【解析】设?y2?1的焦点坐标为(?c,0)，因为c2?a2?b2?3?1?4，c?2，
3所以焦点坐标为(?2,0)，故选B．
x2y212、【2017年高考天津卷理数】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2．若经
ab过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
x2y2A．??1
44x2y2C．??1
48【答案】B
x2y2B．??1
88x2y2D．??1
844?0x2y2?1?c?4,a?b?22???1， 【解析】由题意得a?b,0?(?c)88故选B．
x2y213、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为
abA．y??2x C．y??【答案】A
B．y??3x D．y??2x 23x 2cbb2c2?a22?2， 【解析】因为e??3，所以2?，所以?e?1?3?1?22aaaa因为渐近线方程为y??bx，所以渐近线方程为y??2x，故选A． a1 5
2021新高考数学真题分类汇编 考点28 双曲线及其性质 (含答案解析)
