高中数学竞赛讲义(六) ──三角函数
一、基础知识
定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意
取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切
函数tanα=,余切函数cotα=,正割函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα=,sinα=,cosα=;商数关系:tanα
=;乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α
+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-
α)=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3 正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间上
为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2. 奇偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,
y取最大值1,当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其
对称中心,值域为[-1,1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区
间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点
均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k∈Z.
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