课时跟踪检测（二十一） 圆的标准方程
层级一 学业水平达标
1．方程|x|－1＝1－?y－1?2所表示的曲线是( ) A．一个圆 C．半个圆
B．两个圆 D．两个半圆
22???|x|－1?＋?y－1?＝1，
解析：选D 由题意，得?
?|x|－1≥0，?
22???x－1?＋?y－1?＝1，
即?
?x≥1?
或
??x＋1?2＋?y－1?2＝1，?
?故原方程表示两个半圆． ?x≤－1，?
2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( ) A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
|AB|1
解析：选B 圆心为线段AB的中点(1，－3)，半径为＝?6＋4?2＋?－1＋5?2＝29，
22所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0
B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.
5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( ) A．2 C.3
B．1 D.2
解析：选B x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.
6．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________. 解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m2， ∴m＝±2. 答案：±2
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
??x－y＋2＝0，解析：由?可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝?2－0?2＋?4－0?2
?2x＋y－8＝0，?
＝25，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
8．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________________． 解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝?2＋1?2＋?－3－1?2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
9．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程． 解：设圆心为(a,0)，
则?a－1?2＋16＝?a－2?2＋9，所以a＝－2. 半径r＝?a－1?2＋16＝5， 故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程． 解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.把点A，B的坐标代入，得
222???－1－a?＋?3－b?＝r，
?消去r2，得b＝5a－5.① 222???4－a?＋?2－b?＝r.
令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±r2－a2， ∴在y轴上的截距之和是2b.
令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±r2－b2， ∴在x轴上的截距之和是2a.
∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.② 75
①代入②，得a＝，∴b＝.
6675169
－1－?2＋?3－?2＝. ∴r2＝?6??6??18
75169x－?2＋?y－?2＝. ∴圆的标准方程为??6??6?18
层级二 应试能力达标
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( ) A．在圆内 C．在圆外
B．在圆上 D．不确定
解析：选C ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选D 由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 C．3
B．4 D．2
解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1
B．x2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
?
则?a＋1b
－?2＝2，b
·?－1?＝－1，a－1
??a＝0，解得?
?b＝－1.?
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
课时跟踪检测(二十一) 圆的标准方程
