信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)?n????Cen??jn?0t;n?0,?1,?2,?3,???
式中： C1T0?jn?0t1?0T?jn?t0 n?T?2Tx(t)edt??02?jn?0t?0?02T0???T0(?A)edt?2?0Aedt?? T ?1?0?A0?jn?0t?1?A?jn??20t
T?e??T?e?0??jn?0??T00??jn?0?0
2
??jA?jA?1?e?jn??ejn????A?1?cosn??
n?n?2jn? ???j2A;n??1,?3,?5,??? ??n? ??0;n??2,?4,?6,???所?? x(t)??2A?以： jn?0t
n???j;n??1,?3,?5,?7????n???e,???幅值频谱：
CC222An?nR?CnI?;n??1,?3,
n??5,???相位频谱： ? C??2A??????;n?1,3,5,???nI ?n?arctgn?C?arctg????2 nR??0???????2;n??1,?3,?5,???
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms 解：
?T???T0x(t)dt?1T?T0xsin?tdt?2x0;式中：T2?x?lim00?00??
1T0 x21T0x0rms?T?0x(t)dt?T0?x0sin?dt?2dt?
00?21.3求指数函数x ( t) ? Ae ? ? t; ( ? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 解：
X(f)????x(t)e?j2?ftdt????Ae??t?e?j2?ftdt?A
??0??j2?f1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:
1
??t令: x1(t)?limex(t);??0
X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt
0??t????t?j2?ft?j2?ft??lime(?1)edt?eedt?????? ?0??0?? 1?
j?f
2)单位阶跃函数的频谱: ??tx(t)?limex(t);2 ??0????t 1?j2?ft?X2(f)??x2(t)edt?lim??ee?j2?ftdt?????0?0 ?j2?f
1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。
? x(t)??cos?0t;t?Tt?T ?0;解： ???T?j2?ft?j2?ftX(f)??x(t)edt??cos2?f0tedt ???T ?T1?j2?f0tj2?f0t?j2?ft?e?eedt ??T2
?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T? ?T????(f?f)2T?(f?f)2T00??
?T?sinc??1?sinc??2?
?t1.6求指数衰减振荡信x(t)?e?号sin（?0t;见(?图?0,t1-11b?0)）： 的频谱 解： ?j2?ft?????j2?ft??tX(f)??x(t)edt???esin2?f0t?edt
??0 ??j?j2?f0tj2?f0t?j2?ft??t?e?e?eedt ?02
?j?11 ??????2??j2?(f?f)??j2?(f?f)00??
1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，
(ω0>ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解： ?????j2?ftX(f)??x(t)edt???f(t)cos2?f0t??e?j2?ftdt ???? ???1???f(t)?e?j2?f0t?ej2?f0t??e?j2?ftdt???2???????
?11F(2?f?2?f0)?F(2?f?2?f0)222
当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象
1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)
等式两边对x求导数： 1 dtx011?? dx?22?0x0?x2(t)0??x(t) 1???x?? ?0? 1?Tx?12?tp(x)?limlim?lim? ?x?0?x?T??T??x?0?xT?? 2dt1??? 22Tdx?x0?x(t)
2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信
号，问幅值误差将是多少？
解：H???? A????1j???111??0.35??2?1Y???? 0.35?j?1X????1?0.7??1???7??2
当T=1s时，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A??2??0.67，误差为33% 当T=5s时，A??3??0.90，误差为8%
2.3求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45?，通过传递函数为
H?s??1的装置后所得到的稳态响应。
0.05s?1解： 利用叠加原理及频率保持性解题
?? x?t??0.5sin10t?90??0.2sin100t?45? A????????11?????2?11??0.00?5?2 ，??????arctg?0.005??
?1?10，A??1??1，???1??2.86?
3
x?t1??0.5?1?sin10t?90??2.86? ， ?2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57? y?t2??0.2?0.89?sin100t?26.57??45?
?y?t??0.5sin10t?87.14??(?0.178)sin100t?18.43? 2.7将信号cos?t输入一个传递函数为H?s??态过程在内的输出y?t?的表达式。
解： x?t??cos??t??sin?t?90? H?s?? y?t??11，A????，???arctg????
2?s?11?????????????1的一阶装置后，试求其包括瞬2s?1??11?????11?????22sin?t?90??arctg???? cos??t?arctg???
?? =
2.8求频率响应函数
3155072的系统对正弦输入
?1?0.01j??1577536?176j???2??x?t??10sin?62.8t?的稳态响应的均值显示。
解： 写成标准形式 H?????j???j???1??2a??n2?2??n?j????2n?
2?125?61 ???2 2?0.01j??1???2?2?125?6?j????125?6?? ∴ A????11??62.8?0.01?2?12?2
??62.8?2?176????1?????1256???1577536 ?1.69?0.99?1.7 对正弦波，ux?A2?1.7?102?12
4
241?n1.52.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串2222S?1.4?nS??nS?1.4?nS??n联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）
解： H????H1????H2??? H1????1.53?，S1?3
3.5S?0.57S?1241?n H2????2，S2?41 2S?1.4?nS??n S?S1?S2?3?41?123
2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解： 由振幅误差
E?|A0?AI|A?1?0?1?A????5% AIAI ∴ A????95% 即 A????11?????2?95% ，
11??2??100t?2?0.95，??5.23?10?4s
?，且??5.23?10?4s时 当??2?f?2??50?100A????11?5.23?10?4?100???2?98.7%
∴ 此时振幅误差E1?1?98.7%?1.3% ??????arctg5.23?10?4?100???9.3?
2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比??0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比
??A???和相角差????各为多少？若该装置的阻尼比可改为??0.7，问A???和
????又将作何种变化？
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机械工程测试技术基础 第三版 课后习题答案(中南适用)
