2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，共45.0分） 1. 下列四条直线，其倾斜角最大的是（ ）
A. B. C. D. 2. 若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A. 倍
B. 2倍
倍 C.
D. 倍
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是（ ）
，则 A. 若 ， ，则 B. 若 ，
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
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5. 圆C1：x+（y-1）=1与圆C2：（x+4）+（y-1）=4的公切线的条数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线（ ）
A. 恒过定点 B. 恒过定点 C. 恒过点 和 D. 都是平行直线
22
的最大值为（ ） 9. 在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x+y=4上，则
A. 3 B. C. D. 4
222
10. 在△ABC中，若a=b+c-bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ）
A.
B. 1 C. D. 2
D. 等腰或直角三角形
11. 在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 12. 已知方程
表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
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15. 如图，设圆C1：（x-5）+（y+2）=4，圆C2：（x-7）+（y+1）=25，
B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，点A、则|PA|+|PB|的最小值为（ ） A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
16. 过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．
17. 若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为______
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18. 设点P（3，2）是圆（x-2）+（y-1）=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是有______． 19. 已知长方体ABCD-A1B1CID1Φ，AB=2AA1=2AD，则直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值是______ 20. 圆锥底面半径为1，高为 ，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后
回到点P，则绕行的最短距离是______． 三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
21. 已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求：
（1）若l1 l2，求m的值； （2）若l1∥l2，求m的值．
22. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点．
（1）求证：平面BC1D 平面ABB1A1； （4）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
23. 已知圆C过A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4 ，求l的方程．
A. B. C. D. 或
13. 若曲线 与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 14. 一个几何体的三视图如图所示，其中三个三角形均是直角三角形，图
形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D.
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24. 在△ABC中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，bcosC+ bsinC=a．
（1）求B；
（2）点D在边BC上，AB=4，CD=
，cos∠ADC= ，求AC．
25. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，
AF=1，M是线段EF的中点． （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
即AD1与BD所成角的大小为60°． 故选：C．
寻找与AD1平行的直线BC1，则直线BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角． 本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键． 4.【答案】B
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、x+2y+3=0，其斜率k1=-，倾斜角θ1为钝角， 对于B、2x-y+1=0，其斜率k2=2，倾斜角θ2为锐角， 对于C、x+y+1=0，其斜率k3=-1，倾斜角θ3为135°， 对于D、x+1=0，倾斜角θ4为90°， 而k1＞k3，故θ1＞θ3， 故选：A．
根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案． 本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系． 2.【答案】C
【解析】
解：A如图可否定A；
解：以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴， 由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半， =故三角形的高变为原来的sin45°
，
倍．
B
所以直观图中三角形的面积是原三角形面积的故选：C．
如图∵l∥β，l?γ， γ∩β=m， ∴l∥m， ∵l α， ∴m α， ∴β α． 故选：B．
以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化情况，即可得出答案．
本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原来图形面积之间的关系，是基础知识的考查． 3.【答案】C
【解析】
结合图形易否定A；利用线面平行的性质和面面垂直的判定可证B正确． 此题考查了直线、平面的各种位置关系，难度不大． 5.【答案】A
【解析】
解：连结BC1，则BC1∥AD1，所以BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角．
连结DC1，则三角形BDC1是正三角形，所以∠DBC1=60°，
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解：∵|C1C2|==4，r1=1，r2=2，r1+r2=1+2=3，
本题考查恒过定点的直线，方法较灵活，可转化为关于a的函数，令a的系数为0，-x-y+1=0即可，也可以令x、y取两组值，解得交点坐标即为所求，属于中档题． 9.【答案】C
【解析】
∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线． 故选：A．
先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线． 本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题． 6.【答案】C
【解析】
解：∵|-|=||≤|OB|+|OA|=2+=2+，
故选：C．
根据向量减法的三角形法则转化为求|
|，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．
解：
如图，由题意可知， O′A=3，OO′=4， ∴R=OA=5， ∴故选：C．
根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积． 此题考查了球体积公式，属容易题． 7.【答案】A
【解析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． 10.【答案】C
【解析】
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解：∵△ABC中，a=b+c-bc，即b+c-a=bc，
=，
∴cosA=， ∴A=60°
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA=故选：C．
利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
， =，
解：由已知两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0，所以m=6， 所以两条平行线的距离为故选：A．
题．
首先求出m的值，然后利用平行线之间的距离公式解答．
本题考查了两条平行线的距离；注意x，y的系数要化为相同，才能运用公式． 8.【答案】A
【解析】
；
此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础
11.【答案】D
【解析】
解：∵（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）， ∴（x+2）a-x-y+1=0， ∴3）． 故选：A．
可将（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）转化为（x+2）a-x-y+1=0，令a的系数为0，-x-y+1=0即可．
，解得：x=-2，y=3．即方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线恒过定点（-2，
解：法1：∵sin2A=sin2B，
∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0， ∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，
或A=B， ∴A+B=90°
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形． 法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角， ，即A=B或A+B=90°， ∴2A=2B或2A+2B=180°
则△ABC一定是等腰或直角三角形．
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故选：D．
解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．
解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系． 12.【答案】D
【解析】
解：作出函数y=与y=x+b图象，由图可知：-1
解：∵方程∴
＞0，
表示圆，
故选：A．
数形结合：作出两个函数的图象，观察图象可得 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． 14.【答案】D
【解析】
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即2k-2k-12＞0，k-k-6＞0，
解得k＞3或k＜-2． 故选：D．
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由D+E-4F＞0的关于k的一元二次不等式求解．
解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
本题考查圆的一般方程，是基础题． 13.【答案】A
【解析】
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所以：该几何体的外接球半径（2r）=1+2+1=6，
解得：所以：V=故选：D．
，
=
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．
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2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷（解析版）
