《拓扑学》作业
一、单项选择
1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是
（A）(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D) （B）(A?C)?(B?D)?(A?B)?(C?D) （C）(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D) （D）A?C?B?D当且仅当A?B,C?D
2．设f:X?Y是映射，A,B,?P(X)，C,D?P(Y)，则下面结论不成立的是： （A）f（B）f?1?1(C?D)?f(C?D)?f?1?1(C)?f(C)?f?1?1(D) (D)
（C）f(A?B)?f(A)?f(B) （D）f(A?B)?f(A)?f(B)
3．在字典序拓扑空间Z??Z?中，子集{2}?Z?是：
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集 （C）即开，且闭集 （D）即非开集，也非闭集
4．设d:R?R为映射，（R表示实数集合），?x,y?R，下面关于d的定义中是R的度量的是： （A）d(x,y)?(x?y?) （B）d(x,y)?x?y
2222?1x?y（C）d(x,y)?|x|?|y| （D）d(x,y)??
0x?y?5．设(X,T)是平庸拓扑空间，a,b?X,a?b，则交错序列a,b,a,b?在拓扑空间(X,T)中的收敛点集合是： （A）? （B）{a} （C）{a,b} （D）X
6．设X?{a,b,c},Y?{1,2,3},T1?{?,X,{a},{a,b}}，T2?{?,Y,{1,2},{2,3},{2}}，A?{b}，B?{1}，则在积空间X?Y中A?B等于
（A）{(b,1)} （B）{(b,1),(c,1)}
（C）{(b,1),(b,2)} （D）{(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
7．设X?{a,b,c,d}，T?{?,x,{a,b,c},{b,c,d},{b,c}}，Y?{a,c,d}，A?{a,c}，则在子空间Y中A的内部等于：
（A）? （B）{a} （C）{c} （D）{a,c}
8．拓扑空间的Lindel?ff性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有： （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有
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完全正则空间?正则空间，完全正则空间?正规空间，连通空间?局部连通空间， 度量空间?可分空间，度量空间?Lindel?ff空间
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel?ff性，连通性中在连续射下保持不变的性质有： （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 11．设R?X?X是一个等价关系，则R不满足的条件是
（A）?(X)?R （B）R∩R-1=? （C）R?R?R （D）R?R
12．设f:X?Y是映射，{A?|??J}?P(X)，{Br|r??}?P(Y)则下面等式中不成立的是 （A）f(?A?)??f(A?) （B）f(?A?)????J??J??J??J?1 f(A?)
（C）f?1(?Br)??f?1(Br) （D）f?1(?Br)?f?1(Br)
r??r??r??r??13．在字典序拓扑空间Z??Z?中，子集{1}?Z?是：
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集 （C）即开，且闭集 （D）即非开集，亦非闭集
14．设X?{a,b,c}，T?{?,X,{a},{a,b}}，则在拓扑空间(X,T)中常值序列a,a,?的 收敛点集合是 （A）{a} （B）{a,c} （C）{a,b} （D） 15．设X?{a,b,c}，Y?{1,2,3}，T1??{?,X,{a},{b,c}?，
0T2?{?,Y,{1,2},{2},{2,3}}，A?{a,b},B?{1,2}，则在积空间X?Y中，(A?B)等于：
X
（A）? （B）?(a,1),(a,2)? （C）?(b,1),(b,2)? （D）?(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)?
16.设X?{a,b,c,d}，T?{?,X,{b,c,d},{a,c,d},{c,d}}，Y?{a,c,d},A?{c}，则在子空间Y中，A的闭包等于
（A）{c} （B）{c,a} （C）{c,b} （D）{a,d,c}
17．设(X,T)是拓扑空间， (X,T)是可度量空间是指存在X的度量d:X2?R使得由d诱导的拓扑Td满足：(A)Td?T (B)T?Td (C)T?Td (D)Td?P(X) 18．拓扑空间的可分性，Lindel?ff性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 （A）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有
满足第二可数理空间?可分空间 度量空间?Lindel?ff空间 正规空间?完全正则空间 度量空间?满足第一可数公理空间 正规空间?正则空间 完全正则空间?正则空间 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
20．设(X,T)是拓扑空间，则对X中任意两个不相交闭集A,B存在连续映射f:X?[0,1]使得f(A)?{0}，
f(B)?{1}当且仅当(X,T)是：
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（A）正则空间 （B）完全正则空间 （C）正规空间 （D）T4空间 21．设X是全集，A,B?P(X)，则A?B当且仅当
（A）A??B?? （B）A?B??? （C）A?B?A （D）A?B?B 22．设f:X?Y是映射，A,B?P(y)，则下面结论不成立的是 （A）f（C）f?1?1?1?1?1(A?B)?f(A)?f(B) （B）f(AIB)?f(A)If(B)
?1?1(A?B)?f?1(A)?f?1(B) （D）ff(B)?B
??1?23．在字典序拓扑空间{1,2}?Z?中，子集{2}?Z?是
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集 （C）即开，且闭集 （D）即非开集，亦非闭集 24．定义度量d:R2?R2?R，?x?(x1,x2)，y?(y1,y2)?R，
2d(x,y)?max?|x1?y1|,|x2?y2|?，则度量空间（R,d）中的单位球是
2
（A） （B）
1 1 （C） （D）
1
1 25．设(X,T)是离散拓扑空间，a,b?X,a?b, 则在(X,T)中交错序列a,b,a,b?的收敛点集合是 （A）? (B) {a} (C) {a,b} (D)
X
26．设X?{a,b,c,d},T?{?,X,{a,b,c},{b,c,d},{b,c}}，Y?{a,b,c}，A?{b}，则在子空间Y中A的闭包等于
（A）{b} （B）{a,b} （C）{b,c} （D）{a,b,c}
27．设X?{a,b,c},Y?{1,2,3}，T?，T2???,Y,{1},{1,2}?，A?{b,c}，1??,X,{a,b},{b},{b,c}?B?{1,3}则在积空间X?Y中(A?B)o等于
（A）? （B）?(b,1),(b,2)? （C）?(b,1),(c,1)? （D）(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)?
28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindel?ff性，满足第二可数公理性中是可遗传性质
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? 的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：
满足第二可数合理空间?可分空间， 度量空间?满足第一可数公理空间 完全正则空间?正则空间， 紧致空间?Lindel?ff空间 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 30．设(X,T)是拓扑空间，则对
X中任意两个不相交闭集A,B存在连续映射f:X?[0,1]使得
f(A)?{0}，f(B)?{1}当且仅当(X,T)是：
（A）正则空间 （B）完全正则空间 （C）正规空间 （D）T4空间 31．设f?X?Y,f是映射，则f满足的条件是 （A）f（B）f?1?1(Y)?X；如果(x,y1),(x,y2)?f，则y1?y2 (Y)?X；如果(x1,y),(x2,y)?f，则x1?x2
（C）f(X)?Y；如果(x,y1),(x,y2)?f，则y1?y2 （D）f(X)?Y；如果(x1,y),(x2,y)?f，则x1?x2
32．设R?X?Y,A,B?P(Y),C,D?P(X),则下面等式成立的是 （A）R?1(A?B)?R?1(A)?R?1(B) （B）R?1(A?B)?R?1(A)?R?1(B)
（C）R(C?D)?R(C)?R(D) （D）R(C?D)?R(C)?R(D) 33．在字典序拓扑空间{1,2}?Z?中，子集{2}?Z?是
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集 （C）即开，且闭集 （D）即非开集，亦非闭集 34．设(X,d)是度量空间，Td是X的由d诱导的拓扑，U?T（A）存在x?X,??0使得U?B(x,?)
d，则下列关于U的结论不正确的是
1n（C）?x?U,???0使得B(x,?)?U
（B）?x?U,?n?Z?使得B(x,)?U
（D）存在BU?{B(x,?)|x?X,??0}使得U?UBU
35．设X?{a,b,c},T??{?,X,{a},{a,b}?，则在拓扑空间(X,T)中常值序列a,a,a,…的收敛点集合是 （A）{a} （B）{a,c} （C）{a,b} （D）X
36．设X?{a,b,c},T?{?,X,{a,b,c},{b,c,d},{b,c}}，Y?{a,c,d},A?{a,c}，则在子空间Y中A的内部是
（A）? （B）{a} （C）{c} （D）{a,c}
37．设X?{a,b,c},Y?{1,2,3},T1?{?,X,{a},{a,b}}，T2?{?,Y,{1,2},{2},{2,3}}，A?{b},B?{1}，则在积空间X?Y中，A?B等于
（A）{(b,1)} （B）{(b,1),(c,1)}
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（C）{(b,1),(b,2)} （D）{(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
38．拓扑空间的可分性，Lindel?ff性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有： （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有
正规空间?正则空间 完全正则空间?正则空间 局部连通空间?连通空间 满足第二可数公理空间?可分空间 度量空间?满足第一可数公理空间 度量空间?可分空间
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
40．设(X,T)是拓扑空间，则对X中任意闭集A及x?A，存在连续映射f:X?[0,1]使得
f(x)?0,f(A)?{1}当且仅当(X,T)是
（A）T1空间 （B）正规空间 （C）完全正则空间 （D）T4空间
二．证明题
1.设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是映射，证明若f是连续映射，则?B?Ρ(Y)，f00?1(Bo)?(f?1(B))o。
2.设f:X?Y是一一映射，而且?A?P(X)，f(A)??f(A)?，证明f是一个连续映射.
3.设(X,T1)，(Y,T2)是两个拓扑空间，f:X?Y是映射，证明若f是连续性映射，则
?B?P(Y),(f?1(B))?f?1(B)
4.设X,Y是拓扑空间，f:X?Y是映射，且满足?A?P(X),f(A)?f(A)，证明f是连续映射。
5.设(X,T)是拓扑空间，Y是X的连通子集，A，B是X的隔离子集，Y?A?B,
证明：或者Y?A，或者Y?B 6.设(X,T)是拓扑空间，x,y?X,
?或者x,y?E。 x,y是连通的，E?X是即开且闭集 ,证明: 或者x,y?E，
7. 设(X,T)是连通拓扑空间，A?P(X)?{?,X}，证明：?(A)?? 8. 设(X,T)是一个连通空间，A是一个非空真子集，证明?(A)?? 9.证明正则的T0空间是T2空间。 10.设R表示实数集合，K?{|n?Z?}
1nB?{(a,b)?E|a,b?R,a?b,E?K}
证明（1）存在R的唯一拓扑T以B为拓扑基.
（2）证明R-K?T.
11. 设(X,T)是一个紧致空间，Y是X中的一个闭子集，证明Y是X的一个紧致子集。 12.设R表示实数集合，B?{[a,b)|a,b?R,a?b}。
证明：（1）存在R的唯一拓扑Tl以B为拓扑基。
（2）在拓扑空间(R,Tl)中证明：?a,b?R,a?b,(a,b)?Tl.
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13.设(X,T)是一个拓扑空间，??X,X*?X?{?},T*?T?{X}
证明：（1）(X*,T*)是一个拓扑空间
(2) (X*,T*)不是T1空间
14.设X是集合，??X,X******?X?{?},T*?P(X)?{U?P(X*)|U?是X中的有限子集}。
证明：（1）(X,T)是拓扑空间 （2）(X,T)是一个正则空间 15.设R表示实数集合，Q表示有理数集，令
B?{(a,b)?E|E?Q,a?b,a,b?R}
证明（1）存在R的唯一拓扑T以B为拓扑基：
（2）R?Q?T.
16.设X是一个集合,??X, X***?X?{?},T*?P(X)?{U?X*|??U, X*?U是有限集}
（1）证明(X,T)是一个拓扑空间。 （2）证明(X,T)是一个紧致空间。
**17.设(X,T)是正则空间，A是X紧致子集，F是X中闭集，F?A??。证明存在U,V?T，U?V??使得A?U,F?V
18. 设(X,T)是一个T2空间，A是(X,T)中的一个紧致子集，x?A，证明存在U,V?T，U?V??使得
x?U,A?V。
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200371 拓扑学 作业（专升本、高起本）
