{题目}25．（2019年山东潍坊T25）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点． （1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式； （3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=45时，求点P的坐标．
{解析}本题综合考查了在坐标系中解决抛物线和圆的有关问题．第（1）问因为点M是AC的中点，容易得出点M的坐标；第（2）问的关键在直线AD和圆相切，相切就有直径垂直于切线，根据相似三角形的知识可求出线段OD的长度，进而求出点D 点坐标；第（3）问中，抛物线的顶点是M，可以根据顶点式求出抛物线的解析式．设出P点坐标，再利用Rt△EHP∽Rt△DOA构建一元二次方程模型求解． {答案}解：（1）∵AC是△ABO的中线，∴点C的坐标为（0，2）． ∵∠AOC=90°，∴线段AC是⊙M的直径， ∴点M为线段AC的中点， ∴圆心M的坐标为（2，1）． （2）∵AD与⊙M相切于点A，
∴AC⊥AD，∴Rt△AOC∽Rt△DOA， ∴
OCOA1??． OAOD2∵OA=4，∴OD=8．
∴点D的坐标为（0，－8）．
设直线AD的函数表达式为y=kx+b，可得??0?4k?b,
??8?b.∴k=2，b=－8．
∴直线AD的函数表达式为y=2x－8．
（3）设抛物线为y=a(x－2)2+1，且过点（0，4）， ∴4=a(0－2)2+1，∴a=
3． 432
x－3x +4． 4所以，抛物线的关系式为y=
设点P(m，∴PE=
3 2
m－3m+4)，则点E(m，2m2－8)， 43 2
m－5m+12． 4过点P作PH⊥EF，垂足为H，
∵PE∥y轴，∴Rt△EHP∽Rt△DOA，
EHOD8??． PEAD4523∴EH=×(m 2－5m+12)．
45∴
∵EF=45， ∴25=
25×(
3 2
m－5m+12)． 414． 3化简，得3m2－20m+28=0， 解之，得m1=2，m2=
所以点P的坐标为(2，1)或(
1419，)． 33{分值}13
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质} {考点:切线的性质}
{考点:直径所对的圆周角} {考点:圆与相似的综合} {考点:圆与函数的综合} {考点:二次函数与圆的综合} {考点:代数综合} {考点:几何综合} {类别:常考题} {难度:5-高难度}
2019年山东潍坊中考数学试题(解析版)
