备战中考数学备考之初中数学 旋转压轴突破训练∶培优篇及答案解析(1)
一、旋转
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y??【解析】
12x?4；（2）2＜m＜22；（3）m=6或m=17﹣3． 2试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为
y?ax2?4，把A（22，0）代入可得a=?1，由此即可解决问题； 2（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
12?y??x?4??122y??x?m??4，由?，消去y得到x2?2mx?2m2?8?0，由题
2?y?1?x?m?2?4?2??(2?42m2?8?0??2m?0意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有?，
?2m2?8?0??解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得
??M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为
y?ax2?4，把A（22，0）代入可得a=?1，∴抛物线C的函数表达式为21y??x2?4．
2（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
12?y??x?4??122y??x?m??4，由?，消去y得到x2?2mx?2m2?8?0 ，由题意，
2?y?1(x?4?2??(2?42m2?8?0??2m?0抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有?，解得
?2m2?8?0??2＜m＜22，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜22． （3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
??
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y??1212x?4上，∴m?2???m?2??4，解得m=17﹣3或22﹣17﹣3（舍弃），∴m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y??1212x?4中，2?m???m?2??4，解得m=6或0（舍弃），∴m=622时，四边形PMP′N是正方形．
综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标．
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（
17，3）；（3）530?33430?334≤S≤． 44【解析】 【分析】
（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可；
②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】
（1）如图①中，
∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中，
AD2?AC2=4，
由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO， 又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2， ∴m=
17， 5∴BH=∴H（
17， 517，3）． 5（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=（5-11?DE?DK=×3×223430?334）=， 24
当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=（5+11×D′E′×KD′=×3×223430?334）=． 2430?33430?334≤S≤． 44综上所述，【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系． (1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2． 他的证明思路如下：
第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP． 第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM． 第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2． 最后得到OM2+BN2＝MN2． 请你完成第二步三角形全等的证明．
备战中考数学备考之初中数学 旋转压轴突破训练培优篇及答案解析(1)
