椭圆和双曲线的参数方程
一、选择题
?x＝acos θ，
1．椭圆?(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a，0)对应的θ＝( )
?y＝bsin θπ3π
A．π B. C．2π D.
22
?x＝4＋2cos θ，
2．椭圆?(θ为参数)的焦距为( )
?y＝1＋5sin θA.21 B．221 C.29 D．229
3．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) π??
A．点(2，3) B．点(2，0) C．点(1，3) D．点?0，?
2???x＝23tan α，
4．双曲线?(α为参数)的两焦点坐标是( )
?y＝6sec αA．(0，－43)，(0，43) B．(－43，0)，(43，0) C．(0，－3)，(0，3) D．(－3，0)，(3，0)
?x＝4cos θ，
5．点(2，33)对应曲线?(θ为参数)中参数θ的值为( )
?y＝6sin θππ
A．kπ＋(k∈Z) B．kπ＋(k∈Z)
63C．2kπ＋
ππ
(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z) 63
α?x＝sin α＋cos ，
22(α为参数)的普通方程为( 6．参数方程?
?y＝2＋sin αA．y－x＝1 B．x－y＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤2) D．x2－y2＝1(|x|≤2)
?x＝3cos φ，π
7．设O是椭圆?(φ为参数)的中心，P是椭圆上对应于φ＝的点，那么直线OP6?y＝2sin φ的斜率为( )
2
2
2
2
)
A.
33323 B.3 C. D. 329
t－t?x＝e－e，8．参数方程?(t为参数)表示的曲线是( ) t－t?y＝e＋e
A．双曲线 B．双曲线的下支 C．双曲线的上支 D．圆 二、填空题
?x＝5cos θ，
9．二次曲线?(θ为参数)的左焦点的坐标是________．
?y＝3sin θ
?x＝4cos θ，
10．曲线?(θ为参数)上一点P到点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为________．
?y＝23sin θ三、解答题
?x＝3 cos α，
11．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为?
?y＝sin α(α为参数)．
(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极π??
轴)中，点P的极坐标为?4，?，判断点P与直线l的位置关系；
2??
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
12．已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点， (1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
x2y2
13．设F1、F2分别为椭圆C：a2＋b2＝1 (a>b>0)的左、右焦点．
3??1，?(1)若椭圆C上的点A到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和 2???焦点坐标；
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
椭圆和双曲线的参数方程答案
1．A 2.B 3.B 4．A 5．D 6.C 7.D 8．C9．(－4，0) 10．8
?π?11．解析：(1)把极坐标系下的点P?4，?化为直角坐标，得P(0，4)．
2??
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． (2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q到直线l的距离
π??2cosα＋6＋4
π?π?|3cos α－sin α＋4|????d＝＝＝2cosα＋6＋22.由此得，当cos α＋6＝－1时，d取得最????22小值，且最小值为2.
?x＝cos θ，?
解 (1)设圆的参数方程为?
?y＝1＋sin θ，?
2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1 ∴－5＋1≤2x＋y≤5＋1.
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0.
π
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin?θ＋?－1，
4??∴a≥2－1.
13解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2. 3
1，?在椭圆上， 又点A??2?因此＋2＝1，得b2＝3， 4b
x2y2
于是c＝a－b＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，
43
2
2
2
?3?1?2?2
焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F1P的中点坐标为(x，y)， 2cos θ－13sin θ＋0则x＝，y＝，
22
12y
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
231?24y2?消去θ，得x＋2＋3＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程．
??
椭圆和双曲线的参数方程
