高考数学专题练习--函数定义域、值域
【考纲解读】
要 求 内 容 A B C 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域 函数概念与基函数的基本性质 本初等函数Ⅰ √ 和值域． 2．了解简单的分段函数，并能简单应用． 备注
【直击考点】
题组一 常识题
1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2 D．y＝【答案】D 【解析】y＝10
lg xlg x的定义域和值域相同的是________．
x1
x ＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．
2．已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域为________．
?5?【答案】 ?0，? ?2?
?5?【解析】 由x∈[－2，3]，得x＋1∈[－1，4]，由2x－1∈[－1，4]，得x∈?0，? ?2?
3．[教材改编] 函数f(x)＝
8－x的定义域是________． x＋3
【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]
【解析】要使函数有意义，则需8－x≥0且x＋3≠0，即x≤8且x≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题
π2π??4．函数y＝f(cos x)的定义域为?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为63??________．
?1?【答案】 ?－，1?
?2?
- 1 -
π2π??【解析】 由于函数y＝f(cos x)的定义域是?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，所以u＝cos x63??
?1??1?的值域是?－，1?，所以函数y＝f(x)的定义域是?－，1?.
?2??2?
3，x∈[0，1]，??
5．已知函数f(x)＝?93当t∈[0，1]时，f[f(t)]∈[0，1]，则实数t的
－x，x∈（1，3]，??22取值范围是______________． 7??【答案】?log3，1?
3??
93ttt【解析】 因为t∈[0，1]，所以f(t)＝3∈[1，3]，所以f[f(t)]＝f(3)＝－·3∈[0，
2277t1]，即≤3≤3，所以log3≤t≤1.
336．若函数f(x)＝
xx－4
的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
mx＋4mx＋3
2
?3?【答案】?0，?. ?4?
【解析】函数的定义域为R，即mx＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合题意；②当m≠03?3?时，Δ＝(4m)2－4×m×3<0，即m(4m－3)<0，解得0 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】9 2 2 8． 函数f(x)＝lg(x＋x－6)的定义域是________． 【答案】{x|x<－3或x>2} 【解析】 要使函数有意义，则需x＋x－6>0，解得x<－3或x>2. 9．设函数f(x)在区间[0，1]上有意义，若存在x∈R使函数f(x－a)＋f(x＋a)有意义，则a的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1]. 2 2 - 2 - 【知识清单】 1 函数的定义域 1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有: (1)分式函数,分母不为0； (2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R； （4）x中的底数不等于0； （5）指数函数y?a的定义域为R； （6）对数函数y?logax的定义域为?x|x?0?； （7）y?sinx,y?cosx的定义域均为R； （8）y?tanx的定义域均为?x|x?k??2.求抽象函数的定义域: （1）由y?f(x)的定义域为D，求y?f[g(x)]的定义域，须解f(x)?D; （2）由y?f[g(x)]的定义域D，求y?f(x)的定义域，只须解g(x)在D上的值域就 是函数y?f(x) 的定义域; （3）由y?f[g(x)]的定义域D，求y?f[h(x)]的定义域. 3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法: (1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值. (2)利用配方法:形如y?ax?bx?c(a?0)型,用此种方法,注意自变量x的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sinx?[?1,1],cosx?[?1,1]. 2x0????,k?z?； 2?ax2?bx?eax?b(4)利用“分离常数”法:形如y= 或y? (a,c至少有一个不为零) cx?dcx?d - 3 - 的函数,求其值域可用此法. (5)利用换元法:形如y?ax?b?cx?d型,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式: (7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 【考点深度剖析】 定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等． 【重点难点突破】 考点1 函数的定义域 【1-1】函数y＝0（x＋1）x－x的定义域为_________． 【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)． 【1-2】函数y=【答案】?x?(log2cosx)+1+25-x2的定义域为_________． ???3?x???? 3??log2cosx?1?0x【解析】由已知条件，自变量需满足? 225?x?0?1????cosx????2k??x??2k?,k?Z得? 233???5?x?5所以??3?x?? 3 故而所求函数定义域为?x????3?x???? 3?. 【1-3】设f?x??lg2?x?x??2?，则f???f??的定义域为________． 2?x?2??x?【答案】??2,?1???1,2? - 4 - ??2??2?x?【解析】由?0得，f(x)的定义域为?x|?2?x?2?.故?2?x??2???x?2,2，解得 2?2.x?x??2?x???4,?1?U?1,4?.故f???f??的定义域为??2,?1???1,2? ?2??x?【1-4】若函数f(x)＝ 2x＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________． 【答案】[－1,0] 2 【思想方法】 (1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域 4 【2-1】求函数y＝x＋(x<0)的值域． x【答案】(－∞，－4]． 4?4?【解析】∵x<0，∴x＋＝－?－x－?≤－4， x?x? 当且仅当x＝－2时等号成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]． 【2-2】 求函数y＝x＋2x(x∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]． - 5 - 2
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