同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案9-1
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习题9?1
1? 设有一平面薄板(不计其厚度)? 占有xOy面上的闭区域D? 薄板上分布有密度为? ??(x? y)的电荷? 且?(x? y)在D上连续? 试用二重积分表达该板上全部电荷Q?
解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x? y)在该板所占闭区域D上的二重积分
Q????(x,y)d??
D 2? 设I1???(x2?y2)3d?? 其中D1?{(x? y)|?1?x?1? ?2?y?2}?
D1 又I2???(x2?y2)3d?? 其中D2?{(x? y)|0?x?1? 0?y?2}?
D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?
解 I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1? y??2以及z?0围成的立体V的体积?
I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0? x?1? y?0? y?2以及z?0围成的立体V1的体积?
显然立体V关于yOz面、xOz面对称? 因此V 1是V位于第一卦限中的部分? 故 V?4V1? 即I1?4I2?
3? 利用二重积分的定义证明? (1)??d??? (其中?为D的面积)?
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证明 由二重积分的定义可知?
?f(?,?)?? ??f(x,y)d??lim?D?0i?1iiin其中??i表示第i个小闭区域的面积? 此处f(x? y)?1? 因而f(?? ?)?1? 所以?
n?????d??lim?D?0i?1i?lim????
??0
(2)??kf(x,y)d??k??f(x,y)d? (其中k为常数)?
DDkf(?i,?i)??i?limk?f(?i,?i)??i 证明 ??kf(x,y)d??lim??0???0Di?1i?1nnf(?i,?i)??i?k??f(x,y)d?? ?klim??0?i?1Dn (3)??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??
DD1D2其中D?D1?D2? D1、D2为两个无公共内点的闭区域?
证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域??i1和??i2? n1?n2?n? 作和
?f(?i,?i)??i??f(?i1,?i1)??i1??f(?i2,?i2)??i2?
i?1i1?1i2?1nn1n2 令各??i1和??i2的直径中最大值分别为?1和?2? 又??max(?1?2)? 则有
lim?f(?i,?i)??i?lim?f(?i1,?i1)??i1?lim?f(?i2,?i2)??i2?
??0i?1nn1n2?1?0i1?1?2?0i2?1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5
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