关于1∞型幂指函数极限的快捷方法

关于1∞型幂指函数极限的快捷方法

程裕强

【摘 要】摘 要:幂指函数的极限问题是微分学常见问题。由于幂指函数的特殊结构，不定型的幂指函数极限的求解过程显得复杂。针对于1∞不定型幂指函数极限问题，文章给出3 种快捷的计算方法。首先给出极限e 公式的推广公式，可以快速解决(1+0)∞型幂指函数极限问题;再对一些1∞型极限给出一般求解公式;最后给出幂指函数的等价无穷小替换公式，可以快速化简幂指函数极限求解过程。

【期刊名称】阜阳师范学院学报（自然科学版） 【年(卷),期】2013(030)002 【总页数】3

【关键词】关键词:幂指函数;极限;等价无穷小

幂函数f(x)a 的指数a 不变幂底f(x)变化，指数函数ag(x)是底数a 不变指数g(x)变化，幂指函数是底数和指数同时变化的函数f(x)g(x)。幂指函数的定义如下:

设两个f(x)和g(x)是在定义域为D 上的连续函数，则称 为定义在定义域D 上的幂指函数。

对于幂指函数y=f(x)g(x)，f(x)＞0，记作，若A 与B 是不全为0 的常数，则是定制型，其值等于AB;否则是未定型。其中x →a 表示自变量x 趋向于任意的定值或无穷大。

一般可以将幂指函数极限问题归纳为定值型和未定型。定值型的问题相对简单，直接计算f(x)和g(x)的极限即可求出AB;而对于未定型，由于幂指函数的本身

的复杂性，极限的求解过程显得复杂。如果A=1，B=∞，则未定型幂指函数极限是1∞型;A=∞，B=0，则为∞0型;A=B=0，则为00型。所以未定型又可划分为1∞型、∞0型和00型。本文重点讨论未定型1∞型，以及其重要的子类型(1+0)∞型［1，2］。通过对幂指函数结构分析，总结3 种快捷求解的1∞型幂指函数极限的方法，并给出示例应用。

1 一般公式

幂指函数有一重要的恒等式［2］:

由该恒等式可以得出求解未定型幂指函数极限计算的一般公式:

对于未定型的幂指函数极限问题，都可以通过该一般公式尝试求解，但对于复杂的1∞未定型该公式往往难以求解。

2 极限e 的推广公式

未定型(1+0)∞是未定型1∞型一个重要的子类型，在数学分析或微分学中均给出了一个重要的极限e 公式［2］:

对于未定型(1+0)∞的问题，一般需要转换成上面的公式进行求解［3，4］。比如求的极限值过程:

显然这一求解过程有些复杂，下面给出(1+0)∞型重要极限e 的推广公式，并利用这一推广公式进行快捷极限计算。

定理1 已知x →0 时，f(x)→0，g(x)→∞，有 其中，a 可以是任意的定值或无穷大。 证明

有了该公式，无需将(1+0)∞型极限问题转换为型问题来解决，直接求解g(x)f(x)的极限值即可。该推广公式相对更具有一般性意义，对于未定型

(1+0)∞问题的求解更加快捷方便［5］。 例2 应用极限e 的推广公式求解 解 当x →∞时， 例3 计算

解 由极限e 的推广公式，有

3 1∞型公式

，其中a 表示定值或者无穷大，则有 定理2 若

对于一些简单的未定型幂指函数极限的计算却没有那么简单，可以使用定理2 对这类问题进行快速计算。 例4 计算 解

4 幂指函数等价无穷小替换公式

常见的等价无穷小:当x →0 时，有

引理 设在某自变量变化过程中，有α～α＇，则

定理3 设在某一自变量的变化过程中，α、α＇、β、β＇均是无穷小，且α～α＇，β～β＇，则有lim αβ=lim αβ 和成立。 证明 因为α～α＇，β～β＇，有

5 结束语

本文给出了幂指函数的定义，并对幂指函数极限的极限进行分类。对于定值型可以直接求解，针对未定型幂指函数极限，可以尝试本文给出的三种快捷方法。