三角函数与解三角形
一、选择题
（2016·7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移
k???(k?Z) 26k??C．x??(k?Z)
212A．x?（2016·9）若cos(A．
?个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
12k??B．x??(k?Z)
26k??D．x??(k?Z)
212?7 253??)?，则sin 2α =（ ） 4511 B． C．?
552 D．?7 25（2014·4）钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2，则AC=（ ）
A．5
B．5
C．2
D．1
（2012·9）已知??0，函数f(x)?sin(?x?A. [,]
1524 B. [,]
1324
?)在(,?)单调递减，则?的取值范围是（） 421C. (0,] D. (0,2]
2C．3
5D．4
5?（2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ =（ ）
A．?4
5
B．?3
5
（2011·11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,|?|?则（ ）
A．f(x)在(0,)单调递减
2C．f(x)在(0,)单调递增
2二、填空题
（2017·14）函数f?x??sin2x?3cosx??2)的最小正周期为?，且f(?x)?f(x)，
?
?3?B．f(x)在(,)单调递减
44
??3?D．f(x)在(,)单调递增
443???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?54，cos C?，a = 1，则b = .
135（2016·13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A?（2014·14）函数f(x)?sin(x?2?)?2sin?cos(x??)的最大值为_________.
?1（2013·15）设?为第二象限角，若tan(??)?，则sin??cos??_________.
42（2011·16）在△ABC中，B?60o,AC?3，则AB?2BC的最大值为 . 三、解答题
（2017·17）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin2（1）求cosB；
（2）若a?c?6 , ?ABC面积为2，求b.．
B． 2（2015·17）在?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．
sin?B（Ⅰ）求 ；
sin?C2 ，求BD和AC的长．
（Ⅱ） 若AD=1，DC=
2
（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC?3asinC?b?c?0. （Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
8．三角函数与解三角形（逐题解析版）
一、选择题
π?π?π??7）B解析：平移后图像表达式为y?2sin2?x??，令2?x???kπ+，得对称轴方程：（2016·
12?12?2??kππx???k?Z?，故选B．
26?3π?72π9）D解析： （2016·∵cos(??)?，sin2??cos(?2?)?cos[2(??)]?2cos(??)?1?，故选D．4524425（2014·4）B解析：∵S?ABC?∴sinB?111|AB|?|BC|?sinB，即：??1?2?sinB， 2222oo，即B?45或135． 25. 2222又∵|AC|?|AB|?|BC|?2|AB|?|BC|?cosB，∴|AC|?1或5，
2又∵?ABC为钝角三角形，∴|AC|?5，即：|AC|?（2012·9）A解析：由
15????3??2k??????????2k?,k?Z得，?4k????2k,k?Z，
242244215∵??0，∴???.
24cos2??sin2?1?tan2?3（2011·5）B解析：由题知tan??2,cos2??，故选B. ???222cos??sin?1?tan?5
（2011·11）A解析：Qf(x)?2sin(?x???又f(?x)?f(x)，∴ f (x)为偶函数，??=
二、填空题
3?????（2017·14）1【解析】∵ f?x??sin2x?3cosx??x??0,??，sin2x?cos2x?1，
4??2???4)(??0,|?|??2)的最小正周期为π，所以??2，
??+k?,k?Z，?f(x)?2sin(2x?)?2cos2x，故选A. 42∴ f?x???cos2x?3cosx?∴ f?x?max?1．
3112??0,1?，，设t?cosx，t??0,1?，∴ f?x???t?3t?，函数对称轴为t?2442145312解析：∵cosA?，cosC?，∴sinA?，sinC?，13135135ba2163sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?，由正弦定理得：?，解得b?．
65sinBsinA13（2014·14）1 解析：∵f(x)?sin(x?2?)?2sin?cos(x??)?sin[??(x??)]?2sin?cos(x??)
13）（2016·
?sin?cos(x??)?cos?sin(x??)?2sin?cos(x??)?cos?sin(x??)?sin?cos(x??)?sinx
∵x?R，∴f(x)的最大值为1. （2013·15）?11π?1?tan?1?10?，得tan θ＝?，即sin θ＝?cos θ. 将其代入解析：由tan?????4?1?tan?2533?
sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＋cos θ＝?3101010，sin θ＝， cos2??1. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝?1010910. 5BCAC??2?BC?2sinA，sinAsinB，
（2011·16）27解析：A?C?1200?C?1200?A,A?(0,1200)，
ABAC??2?AB?2sinC?2sin(1200?A)?3cosA?sinAsinCsinB?AB?2BC?3cosA?5sinA?28sin(A??)?27sin(A??)，故最大值是27 .
三、解答题
（2017·17）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin2（1）求cosB；
（2）若a?c?6 , ?ABC面积为2，求b.．
B． 2B，故sinB?（， 41-cosB）215上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0，解得 cosB=1（舍去），cosB=.
17BBB2B2B【解法2】由题设及A?B?C??,sinB?8sin，所以2sincos?8sin，又sin?0，所
22222B1?tan2B12?15. 以tan?，cosB?B17241?tan221581417（Ⅱ）由cosB=得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac，又S?ABC=2，则ac?，
17172172解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及A?B?C??,sinB?8sin2由余弦定理及a?c?6得
2b2?a2?c2?2accosB?（a+c）?2ac(1?cosB)?36?2?1715?(1?)?4，所以b=2． 217
（2015·17）在?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．
sin?B（Ⅰ）求 ；
sin?C2（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．
2解析：（Ⅰ）S?ABD?11AB?ADsin?BAD，S?ADC?AC?ADsin?CAD，因为S?ABD?2S?ADC，22sin?BAC1?BAD??CAD，所以AB?2AC，由正弦定理可得??.
sin?CAB22，所以BD?2，在?ABD和?ADC中， 2（Ⅱ）因为S?ABD:S?ADC?BD:DC?2，DC?由余弦定理知，AB2?AD2?BD2?2AD?BDcos?ADB，AC2?AD2?DC2?2AD?DCcos?ADC， 故AB2?2AC2?3AD2?BD2?2DC2?6，由（Ⅰ）知AB?2AC，所以AC?1.
（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)
＝sin Bcos C+cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B?（Ⅱ）△ABC的面积S?故ac?
（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC?3asinC?b?c?0. （Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.
解析：（Ⅰ）由acosC?3asinC?b?c?0及正弦定理可得sinAcosC?3sinAsinC ?sinB?sinC?0，
?. 4?12acsinB?ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2?2accos. 又a2＋c2≥2ac，2444，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2+1.
2?2sinAcosC?3sinAsinC?sin(A?C)?sinC?0，
3sinAsinC?cosAsinC ?sinC?0，QsinC?0，
，
??1?3sinA?cosA?1?0，?2sin(A?)?1?0，sin(A?)?662??5???????A??，?A??，?A?.
666663 （Ⅱ）QSVABC?3，?bcsinA?Q0?A??，
123?bc?3，?bc?4，Qa?2,A?43，
?a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc?4，?b2?c2?8，解得b?c?2.
高考数学三角函数与解三角形专项练习题
