2024年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案
页．共150分．考试时间120分钟．
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线(1?a)x?y?1?0与圆x?y?2x?0相切，则a的值为 （A）1,?1 （B）2.?2 （C）1 （D）?1
22（2）复数(?1233i)的值是 2（A）?i （B）i （C）?1 （D）1 （3）不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集是
（A）{x|0?x?1} （B）{x|x?0且x??1} （C）{x|?1?x?1} （D）{x|x?1且x??1} （4）函数y?a在[0,1]上的最大值与最小值这和为3，则a＝ （A）
x11 （B）2 （C）4 （D） 24（5）在(0,2?)内，使sinx?cosx成立的x的取值范围是
5???5??5?3?,)?(?,) （B）(,?) （C）(,) （D）(,?)?(,) 424444442k1k1（6）设集合M?{x|x??,k?Z}，N?{x|x??,k?Z}，则
2442（A）M?N （B）M?N （C）M?N （D）M?N??
（A）(??（7）椭圆5x?ky?5的一个焦点是(0,2)，那么k?
22（A）?1 （B）1 （C）5 （D）?5
（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A）
3433 （B） （C） （D）? 4555（9）0?x?y?a?1，则有
（A）loga(xy)?0（B）0?loga(xy)?1（C）1?loga(xy)?2 （D）loga(xy)?2 （10）函数y?x?bx?c（?[0,??)）是单调函数的充要条件是 （A）b?0 （B）b?0 （C）b?0 （D）b?0 （11）设??(0,2?4)，则二次曲线x2ctg??y2tg??1的离心率取值范围
1222,2) （D）(2,??) ) （C）(22（A）(0,) （B）(,12（12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A）8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快。 （14）函数y?22x（x?(?1,??)）图象与其反函数图象的交点为 1?x7（15）(x?1)(x?2)展开式中x3的系数是
（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)。 能使这抛物线方程为y?10x的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y?Asin(?x??)?b
（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式；
（18）甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动。甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙
2每分钟走5米。
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？
（19）四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形，PB?平面ABCD。
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60?，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90?
（20）设函数f(x)?x?|x?2|?1，x?R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值。
（21）已知点P到两定点M(?1,0)、N(1,0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。 （22）（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。
2参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 D 10 A 11 D 12 B 二、填空题 （13）1995 （14）(0,0),(1,1) （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题 （17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30?10?20℃ （2）图中从6时到14时的图象是函数y?Asin(?x??)?b的半个周期
12????14?6，解得?? 2?811由图示，A?(30?10)?10 b?(10?30)?20
22∴
这时，y?10sin(?8x??)?20
3? 4?3?综上，所求的解析式为y?10sin(x?)?20（x?[6,14]）
84（18）解：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有
n(n?1)2n??5n?70，整理得n2?13n?140?0，解得n?7，n??20（舍）
2将x?6,y?10代入上式，可取??第1次相遇是在开始后7分钟．
（2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n?n(n?1)?5n?3?70，整理得n2?13n?420?0，解得n?15，n??28（舍） 2第2次相遇是在开始后15分钟．
（19）解（1）∵PB?平面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，∴PA?DA ∴?PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，?PAB?60? 而PB是四棱锥P?ABCD的高，PA?AB?tg60??3a
∴VP?ABCD?133?3a?a2?a 33（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等
三角形．
作AE?DP，垂足为E，连结EC，则?ADE??CDE．
∴AE?EC，?CED?90?，故?CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角． 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO?AC．
2a?OA?AE?AD?a 2AE2?EC2?(2?OA)2(AE?2OA)(AE?2OA)??0 在△AEC中，cos?AEC?22AE?ECAE所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90?
（20）解：（I）f(2)?3,f(?2)?7，由于f(?2)?f(2)，f(?2)??f(2) 故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2??x?x?3 x?2（2）f(x)??
2??x?x?1 x?2由于f(x)在[2,??)上的最小值为f(2)?3，在(??,2)内的最小值为f()?故函数f(x)在(??,?)内的最小值为
123 43 4|PM|?2，即
|PN|（21）解：设P的坐标为(x,y)，由题意有
(x?1)2?y2?2?(x?1)2?y2，整理得x2?y2?6x?1?0
因为点N到PM的距离为1，|MN|?2
所以PMN?30?，直线PM的斜率为?3 3直线PM的方程为y??3(x?1) 3将y??3(x?1)代入x2?y2?6x?1?0整理得x2?4x?1?0 3解得x?2?3，x?2?3
则点P坐标为(2?3,1?3)或(2?3,?1?3)
(2?3,?1?3)或(2?3,?1?3)
直线PN的方程为y?x?1或y??x?1．
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