高考达标检测（二十五） 数列求和的3种方法
—分组转化、裂项相消和错位相减
一、选择题
1.(2017·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足:an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝( )
A.7 C.14
B.12 D.21
解析:选C 由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3 得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝
1
＋a7
2
＝14、
2.(2017·安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和.若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )
A.100 C.120
B.110 D.130
解析:选C {an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2
＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120、故选C、
3.(2017·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝( )
A.9 C.17
B.8 D.16
解析:选A S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9、
4.已知等差数列{an}的前n项和为项和为( )
A、C、
100 10199 100
B、 D、
99 101101 100
??1??
?的前Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?
aa??nn＋1??
100
解析:选A 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d、
∵a5＝5，S5＝15，
?a＋4d＝5，∴?－
5a＋
2?
11
d＝15，
?a1＝1，
∴?
?d＝1，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n、 ∴1＝anan＋1
1＋
11＝－， nn＋1
1??11?1?1??1
－?＝1－100项和为?1－?＋?－?＋…＋?＝
2??23?101??100101?
??1??
?的前∴数列?aa?nn＋1???
100
、 101
5.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2 016项和S2 016＝( )
A.22 017－2 C.22 017
B.22 017－1 D.22 017＋1
解析:选A 由题意知an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a3－a2＝2，a2－a1＝2，累加求和得an－a1＝2
2
n－1
＋2
n－2
＋…＋2＋2＝
2
－2n－11－2
＝2n－2，n≥2，又a1＝2，所以an＝2n，则数列{an}的前2 016项和S2 016＝
－22 0161－2
＝22 017－2，故选A、
π
，若函数f(x)＝2
6.已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N.，且a5＝
x
sin 2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
2
A.0 C.9
B.－9 D.1
解析:选C 由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，?π?
∴f??＝1、∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋?2?1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9、
二、填空题
7.(2016·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________.
解析:由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289、
答案:1 289
8.1＋2x＋3x＋…＋nx
2
n－1
＝________(x≠0且x≠1).
解析:设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②
①－②得:(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn 1－xn
＝－nxn， 1－x∴Sn＝答案:
1－xn－1－xn－
nxn
、 2－1－xnxn
2－1－x
9.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 017＝________、
解析:由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，
a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，…， 故该数列为周期是4的数列， 所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1 ＝504×(－2)＋1＝－1 007、 答案:－1 007 三、解答题
10.(2017·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，S10＝－40、
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一
个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn、
解:(1)∵a5＝a1＋4d＝－3， S10＝10a1＋45d＝－40， 解得a1＝5，d＝－2、 ∴an＝－2n＋7、
(2)依题意，bn＝a2n＝－2×2n＋7＝－2n＋1＋7， 故Tn＝－(22＋23＋…＋2n＋1)＋7n 22－2n＋1×2＝－＋7n
1－2＝4＋7n－2n＋2、
11.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3、
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
na2n－1
，求数列{bn}的前n项和Tn、
解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)， ?a1q＝64，
由题意，得?3
42
?a1q＋a1q＝6a1q，?a1＝2，解得?
?q＝2，
5
n
所以an＝2n、 (2)因为bn＝
a2n－1
＝n2
2n－1
，
1234n
所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1，
22222
1123n－1n
Tn＝3＋5＋7＋…＋2n－1＋2n＋1， 4222n2311111n所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1－2n＋1
4222222
1?1?
?1－n?4?2?n
＝－2n＋1 121－424＋3n＝－， 33×22n＋1
816＋12n84＋3n
故Tn＝－＝－、
99×22n＋199×22n－1
12.(2017·云南统检)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N.，都有2Sn＝(n＋1)an、
(1)求数列{an}的通项公式；
??
(2)若数列?
??an
4
n＋
??
?的前??
1
n项和为Tn，求证:≤Tn<1、
2
解:(1)因为2Sn＝(n＋1)an， 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，
两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1， 即(n－1)an＝nan－1， anan－1
所以当n≥2时，＝，
nn－1ana1
所以＝＝2，即an＝2n(n≥2).
n1因为a1＝2也符合上式，所以an＝2n、 (2)证明:由(1)知an＝2n， 令bn＝
an
4n＋4＋
，n∈N.， ＝
1＋
11＝－、 nn＋1
所以bn＝
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1??11?1?1??11－－－??????＝＋＋…＋＝1－、 2??23?n＋1??nn＋1?因为
11>0，所以1－<1、 n＋1n＋1
高考数学复习(二十五)数列求和的3种方法—分组转化、裂项相消和错位相减
