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课时分层训练(十) 函数与方程
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx－ax的零点是
( ) 【导学号：】
A．0,2 1
C．0，－
2
C [由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.
1B．0， 21
D．2，－
2
2
a12
令g(x)＝bx－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
b2
2．(2017·台州模拟)已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝a＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) C．(0,1)
xxB．(－1,0) D．(1,2)
B [∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝a＋x－b， 1
∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，
a由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．] 3．函数f(x)＝2＋x－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
x3
x3
B [由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2＋x－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2＋x－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]
4．若函数f(x)＝x＋x－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
3
2
x3
f(1)＝－2 f(1.375)＝－2.60 32f(1.5)＝0.625 f(1.437 5)＝0.162 f(1.25)＝－0.984 f(1.406 25)＝－0.054 那么方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为( ) A．1.25 C．1.406 25
B．1.375 D．1.5
C [根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，
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又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1， 故方程的一个近似根可以是1.406 25.]
5．(2017·浙江五校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
1
A. 47
C．－
8
2
2
1B. 83D．－
8
2
C [令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x＋1＝x－λ只有一个实根，即2x－x＋1＋λ＝0只有一个实根，7
则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.]
8
二、填空题
6．已知关于x的方程x＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．
(－∞，1) [设函数f(x)＝x＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得
2
22
2
m＜1.]
7．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x＋3x＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
－2 1 [∵f(x)＝x＋3x＋1，则f(a)＝a＋3a＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)＝(x－b)(x－2ax＋a)＝x－(2a＋b)x＋(a＋2ab)x－
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
2a＋b＝－3，①??2
由此可得?a＋2ab＝0，②
??a3＋3a2＝a2b.③
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.]
8．若函数f(x)＝|2－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________.
【导学号：】
(0,2) [由f(x)＝|2－2|－b＝0得|2－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0 三、解答题 xxxxx2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. x1?1?32 9．已知函数f(x)＝x－x＋＋.证明：存在x0∈?0，?，使f(x0)＝x0. 24?2? [证明] 令g(x)＝f(x)－x.4分 1?1?1?1?1 ∵g(0)＝，g??＝f??－＝－， 4?2?8?2?2 ?1?∴g(0)·g??＜0.10分 ?2??1?又函数g(x)在?0，?上连续， ?2??1?∴存在x0∈?0，?，使g(x0)＝0， ?2? 即f(x0)＝x0.15分 10．已知二次函数f(x)＝x＋(2a－1)x＋1－2a， (1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； 2 ?1?(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及?0，?内各有一个零点，求实数a的取值范围． ?2? [解] (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f(x)＝1有实根，即x＋(2a－1)x－2a＝0有实根.4分 因为Δ＝(2a－1)＋8a＝(2a＋1)≥0对于任意的a∈R恒成立，即x＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.7分 2 2 2 2 ?1?(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及?0，?内各有一个零点， ?2? ?只需?f? －1>0，f0<0， f??>0，2 ?1??? 10分 3－4a>0，??1－2a<0，即?3??4－a>0， 13 解得 24 ???13 故实数a的取值范围为?a? 4???2 ?? ?.15分 ?? B组 能力提升 (建议用时：15分钟) ??2－a，x≤0， 1．(2017·杭州二中模拟)已知函数f(x)＝? ?2x－1，x＞0? x (a∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a的取值范围是( ) 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. A．(－∞，－1) C．[－1,0) D [因为当x＞0时，f(x)＝2x－1， 1 由f(x)＝0得x＝. 2 所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2－a＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x∈(－∞，0]时，2∈(0,1]，且y＝2在(－∞，0]上单调递增， 故所求a的取值范围是(0,1]．] 2．(2017·浙江镇海中学测试卷一)已知函数f(x)＝a－x＋b的零点x0∈(k，k＋1)(k9ab∈Z)，其中常数a，b满足3＝2,3＝，则k＝________. 【导学号：】 4 9 1 [依题意有a＝log32∈(0,1)，b＝log3＝2－2log32＝2－2a，因为0 4 xxxxB．(－∞，－1] D．(0,1] f(x)是R上的减函数，而f(1)＝a－1＋b＝1－a>0，f(2)＝a2－2＋b＝a2－2a＝a(a－2)<0， 故x0∈(1,2)，故k＝1.] 3．若关于x的方程2＋2a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围. 【导学号：】 [解] 法一(换元法)：设t＝2(t＞0)，则原方程可变为t＋at＋a＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f(t)＝t＋at＋a＋1.4分 ①若方程(*)有两个正实根t1，t2， 2 2xxx2 Δ＝a－4a＋1≥0，?? 则?t1＋t2＝－a＞0，??t1·t2＝a＋1＞0， 2 解得－1＜a≤2－22；8分 ②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1；10分 ③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－＞0，解得a＝－1. 2综上，a的取值范围是(－∞，2－22].15分 2＋1 法二(分离变量法)：由方程，解得a＝－x，4分 2＋1设t＝2(t＞0)， 2t2＋1?－1?则a＝－＝－?t＋? t＋1?t＋1?＝2－? x2xa?t＋1＋2?，其中t＋1＞1，10分 t＋1??? 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 由基本不等式，得(t＋1)＋分 2 ≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22.15t＋1 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程课时分层训练
