层次分析法-数学建模
层次分析法
一、分析模型和一般步骤 二、建立层次结构模型 三、构造成对比较矩阵 四、作一致性检验 五、层次总排序及决策
一. 层次分析模型和一般步骤
层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：
（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；
（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；
（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；
（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 〔例1〕 购物模型
某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
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例2〕 选拔干部模型
对三个干部候选人 、 、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人 、 、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型
例3〕 评选优秀学校
某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素：
（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）
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（2）教学设施
（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）
（4）文体活动
三、构造成对比较矩阵
比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重 成对比较矩阵。
成对比较矩阵中
的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。 来描述。设共有 n 个元素参与比较，则
称为
在 19 及其倒数中间取值。
? ? ? ? ? ?
与
元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同； 元素 i 比元素 j 略重要； 元素 i 比元素 j 重要； 元素 i 比元素 j 重要得多； 元素 i 比元素 j 的极其重要； ， 之间； ，
当且仅当
。
元素 i 与 j 的重要性介于
?
成对比较矩阵的特点：
，，。
对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德 ，才能 ，资历 ，年龄 ，群众关系 。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
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=5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。
四. 作一致性检验
从理论上分析得到：如果 是完全一致的成对比较矩阵，应该有
。
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下： o 计算衡量一个成对比矩阵 A （ >1 阶方阵）不一致程度的指标
： 其中
是矩阵 A 的最大特征值。
：
从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准 n RI 1 0 2 0 3 4 0.58 0.9 5 6 7 8 9 10 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 有关。
称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数
o
按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：
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o
。
时，判定成对比较阵 A 具
判断方法如下： 当
有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，
直到达到满意的一致性为止。 [R,T]=eig(A)；
。
计算得到 ， ，查得 ，
。
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
。
这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分
量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成 AU=abs(U)；AU/sum(AU)；得到
W1=（0.4758 0.2636 0.0538 0.0981 0.1087）。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。
五. 层次总排序及决策
现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人
、 、 中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人 群众关系
分别比较他们的品德 。
，才能
，资历
，年龄
，
先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
经计算，
的权向量
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