V1?r2?2r33??设球半径为r，则V故答案为．． 422?r323点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，第17~21题为必选题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（2）Sn=n2–8n，最小值为–16． （1）an=2n–9，【解析】
分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
18. 为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？ （2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？
【答案】（1）服用A药睡眠时间平均增加2.3；服用B药睡眠时间平均增加1.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好； （2） A药 6 2 5 8 2 5 7 8 2 3 5 6 7 9 3 4 2 5 0 1
从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好.
0． 1． 2． 3． B药 8 9 5 6 5 7 9 2 3 4 6 8 1 2 4 6 1 5 7 2
【解析】
(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为
.由观测结果可得：＝×(0.6＋1.2＋1.2＋
1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， ＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8 ＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6. 由以上计算结果可得＞
，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的
叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好． 考点：茎叶图、平均数.
四棱锥P?ABC中，PA?平面ABCD，AD∥BC，AB?AD?AC?3，PA=BC=4，M19.如图，
为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的中点． （I）证明MN∥平面PAB； （II）求四面体N?BCM的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】
45. 3
试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到
MNPAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的
距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得
.
又因为
，故平面
平行且等于，
平面
，四边形AMNT为平行四边形，于是
，所以
平面
.
.
，取
的中点T，连接
，由N为
中点知
，
（Ⅱ）因为所以N到平面取由
的中点
平面
，N为
.
的中点，
的距离为，连结
.由的距离为
得，故SVBCM?，.
得到
1?4?5?25. 2所以四面体
的体积VN?BCM?1PA45. ?SVBCM??323【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
x2y23，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜20.已知点A(0，－2)，椭圆E：2?2?1 (a>b>0)的离心率为ab2率为23，O为坐标原点. 3
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
x27【答案】（1）?y2?1 （2）y??x?2
42【解析】
试题分析：设出F，由直线AF的斜率为23求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，即可求3椭圆方程；（2）点l?x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l:y?kx?2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k的范围，再由弦长公式求得PQ，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设F?c,0?，因为直线AF的斜率为23，A?0,?2? 3所以
223，c?3. ?c3又
c32?,b?a2?c2 a2解得a?2,b?1，
x2所以椭圆E的方程为?y2?1.
4（2）解：设P?x1,y1?,Q?x2,y2? 由题意可设直线l的方程为：y?kx?2，
x2?y2?1，22联立{4消去y得?1?4k?x?16kx?12?0，
y?kx?2,2当??164k?3?0，所以k??2?333，即k??或k?时 422x1?x2?16k12,xx?. 121?4k21?4k2所以PQ?1?k2?x1?x2?2?4x1x2
广东省茂名市电白区2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题(解析版)
