设A是m?n矩阵，线性方程组Ax?b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩?—?即r(A)?r?A???或者说b可由A的列向量?1，?2，...，?n线性表出，亦等同于?1，?2，...，?n与?1，?2，...，?n，b是等价向量组设A是m?n矩阵，线性方程组Ax?b，则?—?(1)有唯一解?r(A)?r?A??n???—?(2)有无穷多解?r(A)?r?A??n???—?(3)无解?r(A)?1?r?A??b不能由A的列向量线性表出??如Ax?b有唯一解，则Ax?b只有零解；反之，当Ax?0只有零解时，Ax?b没有无穷多解(可能无解，也可能只有唯一解)五、非齐次线性方程组解的结构
—如n元线性方程组Ax?b有解，设?1，?2，...，?t是相应齐次方程组Ax?0的基础解系，?0是Ax?b的某个已知解，则k1?1?k2?2?...?kt?t??0是Ax?b的通解，其中k1，k2，...，kt是任意常数六、线性方程组解的性质
1.如果?1,，?2,是Ax?b的两个解，则?1,-?2,是Ax?0的解2.如果?1,，?2,是Ax?0的两个解，其线性组合k1?1,?k2?2,仍是Ax?0的解 3.如果?是Ax?b的解，?是Ax?0的解，则???仍是Ax?b的解
第五章 矩阵的特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法 （一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念
1.矩阵的特征值与特征向量的概念设A是n阶矩阵，若存在数?及非零的n维列向量?，使得A????(??0)成立，则称?是矩阵A的特征值，称非零向量?是矩阵A属于特征值?的特征向量特征向量为非零向量2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念行列式f(?)??E?A称为矩阵A的特征多项式，?E?A?0称为矩阵A的特征方程特征方程?E?A?0是?的n次方程，它的n个根就是矩阵A的n个特征值若?是A的特征值，则?E?A?0，因此?E?A是不可逆矩阵Ax?0的基础解系就是??0的线性无关的特征向量
（二）特征值与特征向量的性质
1.如果?1，?2都是特征值?i所对应的特征向量，则?1，?2的线性组合k1?1?k2?2(非零时)仍属于?i的特征向量(?i的特征向量不唯一，但一个特征向量只能属于一个特征值)2.属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当?i是矩阵A的k重特征根时，矩阵A属于?i的线性无关的特征向量的个数不超过k个因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有n个，并且若?1，?2是矩阵A的不同特征值，?1，?2分别是?1，?2的特征向量，则?1，?2的线性组合k1?1?k2?2不再是A的特征向量3.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于A行列式的值4.n阶矩阵A和的它的转置矩阵AT有相同的特征值5.n阶矩阵A可逆的充要条件是它的任一特征值均不等于06.若?是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，?k是Ak的特征值
（三）特征值与特征向量的求法
1.对于抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值2.对于具体的数字矩阵，应先由特征方程?E?A?0,求出矩阵的A的全部特征值，其中有可能重根，然后对每个不同的特征值?i,分别解齐次方程组(?iE?A)x?0，设r(?iE?A)?ri,如果求出方程组的基础解系(即矩阵A关于特征值?i的线性无关的特征向量)
?1,?2,...,?n?r,则矩阵A属于特征值?i的全部特征向量k1?1?k2?2?...?kn?r?n?r,iii其中k1，k2，...，kn?ri是不全为零的任意常数二、相似矩阵的概念与性质 （一）相似矩阵的概念
设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P?1AP?B,则称矩阵A与B相似，记为A~B
(二)相似矩阵的性质
1.如A~B??E?A??E?B,从而A，B有相同的特征值??aii??bii(A,B有相同的迹)i?1i?1nn
?r(A)?r(B)?A?B2.如A~B，设P-1AP?B,则P-1(A?kE)P?B?kE;P-1AnP?Bn3.如A~B，则AT~BT4.如A~B,且A，B都可逆，则A~B5.如A~B，B~C,则A~C
三、矩阵可相似对角化的充要条件及解题步骤 (一)矩阵可相似对角化的概念
-1-1
n阶矩阵A如果与对角矩阵?相似，则称A可以相似对角化，记成A~?，并称?是A的相似标准型P-1AP??，则?对角线上的元素都是A的全部特征值，P的每一列对对应的特征向量
（二）矩阵可相似对角化的充要条件
1.A与对角矩阵相似的充要条件(1)A有n个线性无关的特征向量(2)对于矩阵A的每一个ni重特征值?i,其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数ni，亦即秩r(?iE?A)?n?ni如果A~?，且?0是ni重特征根，则?0应用ni个线性无关的特征向量，即齐次方程组(?0E?A)x?0的基础解系应含有n?r(?0E?A)?ni个向量，故可通过秩r(?0E?A)来判断A是否能对角化2.A与对角矩阵相似的充分条件(1)A有n个不同的特征值；(2)A是实对称矩阵(三)相似对角化A为对角矩阵?的解题步骤第一步，先求出A的特征值?1，?2，...，?n第二步，再求所对应的线性无关的特征向量?1，?2，...，?n??1?
???2-1?第三步，构造可逆矩阵P?(?1，?2，...，?n),则PAP????...???n??(四)实对称矩阵的特性及用正交矩阵化的A为相似标准形的解题步骤
1.实对称矩阵的特性(1)实对称矩阵必可对角化(2)特征值全是实数，特征向量都是实向量(3)不同特征值的特征互相正交(4)ni重特征值必有ni个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(?E?A)?n?ni2.用正交矩阵化A为相似标准型的解题步骤可用正交化变换话A为相似标准形，解题步骤类同(三)，只是要保证P是正交矩阵，为此求出特征向量后应改造特征向量(1)当A的特征值互不相同时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵P正交化方法处理，才能构造出正交矩阵P(2)当特征值有重根?i时，要检查特征向量是否正交，否则必须对?i的特征向量用施密特
?注?掌握用正交变换化实对称矩阵为对角形的方法，经常与二次型联系在一起仅实对称才能用正交变换化为对角形第六章 二次型
一、二次型的概念及其标准型 （一）二次型及其矩阵表示
含有n个变量x1,x2,...,xn的二次型齐次多项式(即每项都是二次多项式)f(x1,x2,...,xn)???aijxixj,aij?aji，称为n元二次型。令x?(x1,x2,...,xn)T,A?(aij)i?1j?1nn则二次型可用矩阵乘法表示为f(x1,x2,...,xn)?xTAx其中A是n阶实对称矩阵(AT?A),称A为二次型f(x1,x2,...,xn)的矩阵。矩阵A的秩r(A)称为二次型f的秩，记作r(f)二次型的矩阵是唯一的。由二次型应能立即写出其二次型矩阵如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项xixj(i?j)的系数全是零，即22f(x1,x2,...,xn)?xTAx?d1x12?d2x2?...?dnxn其中di(i?1,2,...,n)为实数，则称这样的二次型（二）二次型的标准型
为标准型在标准型中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数q称为二次型的负惯性指数，r(f)?r(A)?p?q任意的n元二次型xTAx都可以通过坐标变换x?Cy(C是可逆矩阵)化为标准型22xAx?yT?y?d1y12?d2y2?...?dnyn;其中??CTACTx?Cy特别地，存在正交变换x?Cy(C是正交矩阵)化xTAx为标准型22xTAx??1y12??2y2?...??nyn;??CTAC?C-1AC，这里?1，?2，...,?n是二次型矩阵A的n个特征值若二次型xTAx经过坐标变换x?Cy化成标准型22xTAx?d1y12?...?dpy2p?dp?1yp?1?...?dp?qyp?q;其中di?01?y?z1?1d1??y?2???......??yp?q???于是二次型化作1z2d2...1zp?qdp?q
22xTAx?z12?...?z2型，p?zp?1?...?zp?q，它成为二次型的规范二次型标准型不是唯一的，它的规范形唯一
（三）惯性定理
对于一个二次型，不论选择怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准型，其正、负惯性指标与所坐标变换无关
二、正定二次型与正定矩阵
1.正定二次型与正定矩阵的概念对二次型xTAx，如对如何x?0,恒有xTAx?0，则称二次型xTAx是正定二次型。正定二次型的矩阵A称为正定矩阵2.二次型正定的充要条件n元二次型xTAx正定?xTAx的正惯性指数p?n?A与E合同，即有可逆矩阵C，使CTAC?E?A的所有特征值全大于0?A的顺序主子式全大于0?存在可逆矩阵C,使得A?CTC正定的必要条件：aii?0;A?0
三、合同矩阵
1.合同矩阵的概念；两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C,使得CTAC?B,则称矩阵A和B合同，记作A?B;任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵
2.两个矩阵合同的充要条件:二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数3.两矩阵合同的充分条件：实对称矩阵A?B的充分条件是A~B 因为若A~B，则A,B有相同的特征值，从而二次型xTAx与xTBx有相同的标准型，即有相同的正、负惯性指数，从而A?BA?B的必要条件是r(A)?r(B)
化二次型为标准形
解题思路：用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为：1.把二次型表示为矩阵形式xTAx2.把A的特征值及相应的特征向量(当?1??2，检验X1,X2是否正交)3,若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需施密特正交化4.把特征向量单位化为?1，?2，...，?n5.构造正交矩阵C?(?1，?2，...，?n)226.令x?Cy，得xTAx??1y12??2y2?...??nyn用配方法化二次型为标准形的解题步骤1.如二次型至少有一个平方项，不妨设a11?0,则对所有含x1的项配方(经配方后所余各项中不再含有x1).如此继续配方，直至每一项都包含在各完全平方项中，引入新变量y1,y2,...,yn;22有y?C?1x,得xTAx?d1y12?d2y2?...?dnyn2.如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设a12?0，则可令x1?y1?y2,x2?y1?y2,x3?y3,...,xn?yn2经此坐标变换，二次型中出现a12y12?a12y3,再按步骤1配方法
判别或证明二次型的正定性
判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路有：(1)用定义；(2)正惯性指数p?n;(3)顺序主子式全大于0；(4)特征值全大于0；正定必要条件A?0
线性代数背诵要点(全)
