?E矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记作A~B.若A~?r?0后者是A的等价标准形，其中Er是r阶单位矩阵,r是矩阵A的秩（二）矩阵等价的充分必要条件
0?,则称 0??A~B等价于1.A，B是同型矩阵且有相同的秩2.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ?B设A时m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q,使得
?E0?PAQ??r??00?矩阵的等价与向量组的等价是两个不同的概念；向量组等价是指两个向量可以互相线性表示向量组等价必有矩阵等价
定义法，找出B使AB?E或BA?E伴随矩阵法A?1?1?AAAEA);()?(?1)EA?1-1
初等变换法(AE)?(E-1?B-1O??OB??OC?1??BO?分块矩阵法?，????????1-1??OCCOOCO????????B
Ax?B有解等价于1.B的每列可由A的列向量表出2.r(A)?r(AB)解题思路方法1,若A可逆，则X?A?1B,可以先求出A?1方法2，若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯形方程组
?T?是矩阵??T的主对角线元素之和 若A?PBP?1,则An?PBnP?1
求An,先求特征值与特征向量(P与?)，令An?P?nP-1 行列变换与单位矩阵、初等矩阵运算的关系
第三章 n维向量
一、n维向量的概念与运算 （一）n维向量的概念
n个数a1,a2,...,an构成的有序数组称为n维向量，记作(a1,a2,...,an)或(a1,a2,...,an)T,分别称为n维行向量或n维列向量，也就是1?n或n?1的矩阵，数ai称为向量的第i个分量（二）n维向量的运算
如果??(a1,a2,...,an)T,??(b1,b2,...,bn)T1.加法????(a1?b1,a2?b2,...,an?bn)T2.数乘k??(ka1,ka2,...,kan)T3.内积(?,?)?a1b1?a2b2?...?anbn??T????T4.若(?,?)?0，则?,?正交，(?,?)??T??a1?a2?...?an222
??a12?a22?...?an2(?,?)??T??0???0
二、线性组合与线性表出 1.线性组合
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组
由s个n维向量?1,?2,...,?s及s个常数k1,k2,...,ks所构成的向量2.线性表出
k1?1?k2?2?...?ks?s称为向量组?1,?2,...,?s的一个线性组合，其中k1,k2,...,ks称为组合系数如n维向量?能表示成向量?1,?2,...,?s的线性组合k1?1?k2?2?...?ks?s??则称?可由?1,?2,...,?s线性表出，或说?是?1,?2,...,?的线性组合3.向量组等价
如过向量组(1)?1,?2,...,?s的每个向量都可以由向量组(2)?1,?2,...,?t线性表出，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出；如果两个向量组可以互相线性表出，则称两个向量等价1等价向量组具有传递性、对称性、及反身性，但向量个数可以不一样，线性相关也可以不一样2.任一向量组和它的极大无关组等价3.向量组的任意两个极大无关组等价4.两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同5.等价的向量具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价6.如果向量组(1)可由向量组(2)线性表出，r(1)?r(2),则(1)、(2)等价
三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念 1.线性相关
对于n维向量?1,?2,...,?s，如存在一组不全为0的数k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?...?ks?s?0则称此向量组?1,?2,...,?s线性相关2.线性无关
对于n维向量?1,?2,...,?s，如果k1?1?k2?2?...?ks?s?0必有k1?k2?...?ks?0，,则称此向量组?1,?2,...,?s线性无关称此向量组?1,?2,...,?s线性无关
（二）线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件
或者说如存在一组数k1,k2,...,ks不全为0，必有k1?1?k2?2?...?ks?s?0，向量组?1,?2,...,?s线性相关，?x1??x??齐次方程组(?1,?2,...,?s)?2??0有非零解?...? ??x?s??r(?1,?2,...,?s)?s(向量的个数)?存在某?i可由其他s?1个向量线性表出n个n维向量线性相关??1,?2,...,?s?0n?1个n位向量一定线性相关
2.线性无关的充分必要条件
向量组?1,?2,...,?s线性无关，?x1??x??齐次方程组(?1,?2,...,?s)?2??0只有零解
?...????xs??r(?1,?2,...,?s)?s(向量的个数)?存在某?i都不能用其他s?1个向量线性表出
3.几个重要结论
(1)阶梯形向量组一定线性无关(2)若向量组?1,?2,...,?s线性无关，则它的任一个部分分组?i1,?i2,...,?it必然线性无关
??1???2???s?(3)若向量组?1,?2,...,?s线性无关，则它的任一延伸组??，...，???必然线性无关???，??1??2??s?(4)两两正交、非零的向量组必然线性无关四、线性相关性与线性表出的关系
(1)向量组?1,?2,...,?s线性相关，的充要条件是?s可以用其余s?1个向量线性表出(2)若向量组?1,?2,...,?s线性无关，而向量组?1,?2,...,?s，?线性相关，则?可由?1,?2,...,?s线性表出，且表示法唯一则它的任一个部分分组?i1,?i2,...,?it必然线性无关(3)若向量组?1,?2,...,?s可由向量组?1,?2,...,?t线性表出，且s?t,则?1,?2,...,?s线性相关(4)若向量组?1,?2,...,?s可由向量组?1,?2,...,?t线性表出，且?1,?2,...,?s线性无关，则s?t
五、向量组的秩与矩阵的秩
（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组
在向量组?1,?2,...,?s中，如存在一个部分组?i1,?i2,...,?it线性无关，且再添加进组中任一向量?j向量组?i1,?i2,...,?it，?j一定线性相关，则称向量组?i1,?i2,...,?it是向量组?1,?2,...,?s的一个极大线性无关组只由一个零向量构成的向量组不存在极大的线性无关组，规定他的秩为0，一个线性无关向量组的极大线性 无关组就是该向量自身一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的。但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组中所含向量的个数都是r,即个数r是由原向量唯一确定的2.向量组的秩
向量组?1,?2,...,?s的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为该向量组的秩， 记为r(?,?,...,?)?r12s
3.矩阵的秩
矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)矩阵A中的秩r(A)?r?A中有r阶子式不为0，r?1阶子式(若还有)全为0 矩阵A中的秩r(A)?r?A中有r阶子式不为0矩阵A中的秩r(A)?r?A中有r阶子式全为0
（二）向量组的秩与矩阵的秩的关系 r(A)?A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)?A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)；求向量组的极大线性无关组和向量组的秩时，可通过对矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵来实现
经初等变换矩阵、向量组的秩均不变若向量组(1)可由向量组(2)线性表出，则r(1)?r(2).特别地，等价的向量组有相同的秩但秩相同的向量组不一定等价六、矩阵秩的重要公式
1.r(A)?r(AT) 2.r(A?B)?r(A)?r(B) 3.r(kA)?r(A),k?0
4.r(AB)?min(r(A),r(B)) 5.如A可逆，r(AB)?r(A)；如B可逆，r(AB)?r(B) 6.A是m?n矩阵，B是n?p矩阵，如AB?0,则r(A)?r(B)?n
七、施密特正交化
若?1,?2,...,?s线性无关，则可构造?1,?2,...,?s使其两两正交，且?i仅是?1,?2,...,?s的线性组合，再把?i单位化，记?i??i,则?1,?2,...,?s是规范正交向量组?i(?,?)(?,?)(?,?)其中?1??1，?2??2-21?1,?3??3?31?1?32?2(?1,?1)(?1,?1)(?2,?2)
?s??s?(?s,?1)(?,?)(?,?)?1?s2?2?...?ss?1?s?1(?1,?1)(?2,?2)(?s?1,?s?1)
第四章 线性方程组
一、线性方程组的各种表达形式及相关概念
?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?ax?ax?...?ax?b?2112222nn2可用矩阵乘法表示为Ax?b, ?线性方程组
...???am1x1?am2x2?...?amnxn?bmx?(x1，x2，...，xn)T，b?(b1，b2，...，bn)T
如果对系数A按列分块，方程组又可以有向量形式x1?1?x2?2?...?xn?n?b如果n维列向量??(c1，c2，...，cn)T满足方程组Ax?b,即A??b,?是Ax?b的一个解向量二、基础解系的概念及其求法 （一）基础解系的概念
齐次方程组Ax?0恒有解(比有零解)。当有非零解时，根据齐次方程组的解性质，解向量的任意线性组合仍是该方程组的解称?1，?2，...，?t是Ax?0的基础解系，即(1)?1，?2，...，?t是Ax?0的解；(2)?1，?2，...，?t线性无关；(3)Ax?0的任一解都可由?1，?2，...，?t线性表出，所谓解系，就是Ax?0的解向量组的一个极大无关组k1?1?k2?2?...?kt?t是Ax?0的通解，其中k1，k2，...，kt是任意常数基础解析中解向量的个数是n?r(A),且n?r(A)也是每个解向量中自由变量的个数（二）基础解系的求法
求基础解系时，可对A做初等行变换化为阶梯形矩阵，通常称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元)，那么剩下的其他未知数就是自由变量(共有n?r(A)个)，当然也可以加减消元后找出r(A)的行列式，那么其他各列的未知数就是自由变量，对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可得到基础解系三、齐次方程组有非零解的判定
设A是m?n矩阵，齐次方程组Ax?0有非零解的充要条件是r(A)?n,亦即A的列向量线性相关如A是n阶矩阵,Ax?0有非零解的充要条件是A?0Ax?0有非零解的充分条件是m?n(即方程的个数小于未知数的个数)四、非齐次线性方程组有解的判定
线性代数背诵要点(全)
