线性代数背诵要点(全)

由天下分享时间：2024/9/8 22:28:58 加入收藏我要投稿点赞

第一章行列式

一、行列式的概念、展开公式及其性质（一）行列式的概念

A?a11a21...an1a12a22...an2...........a1na2n...ann

（二）行列式按行（列）展开公式

A?ai1Ai1?ai2Ai2?...?ainAin?a1jA1j?a2jA2j?...?anjAnj其中Aij?(?1)i?jMijMij是A中去掉第i行及第j列元素后的n?1阶行列式，称之为aij的余子式，而(?1)i?jMij为aij的代数余子式1.上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积a11??????an1a11a22????a22??...???anna1n...???anna1n?an1?a11a22???ann2.关于副对角线，其计算公式为?a2n?1...a2n?1...???n(n?1)??(?1)2a1na2n?1???an1 ??3.两种特殊的拉普拉斯展开式，设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则A?AO??A?BOB?BOBA?A??(?1)mnA?B?BO

（三）行列式的性质

1．经转置的行列式的值不变，即A?AT

2.行列式中某一行各元素如有公因数k，则k可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零 3.如果行列式中某行的每个原色都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和

a1?a2b1?b2lm=

a1b1l

a2lb2m

4对换行列中某两行的位置，行列式的值只改变正负号；若两行元素对应相对（成比例），则行列式的值为零 5.把某行的k倍加至另一行，行列式的值不变

（四）关于代数余子式的求和

1.只改变aij所在行或列中的元素的值并不影响其代数余子式Aij,Aij与aij的取值无关2.行列式一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零ai1Aj1?ai2Aj2?...?ainAjn?0a1jA1k?a2jA2k?...?anjAnk?0

二、有关行列式的几个重要公式

1.若A是n阶矩阵，则kA?knA 2.若A，B是n阶矩阵，则AB?A?B

3.若A是n阶矩阵，则A??A-1n?1?1若A是n阶可逆矩阵，则A?A

4.若A是n阶范德蒙矩阵1xA?1x12x1n?11x22x2n?1x2...1 ...xn，则A?(x?x)?ij2...xn1?j?i?nn?1...xnn5.若A是n阶矩阵，?i是A的特征值，则A???i

i?16.若A~B，则A?B

三、关于克莱姆法则

对于n个方程n个未知数的非齐次线性方程组，如果系行列式D?A?0,则方程组有唯一解x1?D1DD,x2?2,...,xn?n,其中Dj是把D中的xj的系数换成常数项DDD对于n个方程n个未知数的齐次线性方程组，系数行列式D?A?0,则方程组只有零解对于n个方程n个未知数的齐次线性方程组，有非零解，则系数行列式D?A?0

逆序数的计算，从左至右,看每个数后面比它小的数的个数经初等变换矩阵的秩不变

第二章矩阵及其运算

一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念 1.矩阵

m?n个数aij排成的m行n列的表格?a11a12...a1n??a? a...a222n??21称为m?n矩阵，简记A或(aij)m?n,若m?n，则称A是n阶矩阵或n阶方阵?............???aa..am2mn??m12.0矩阵

如果矩阵A中所有元素而都是0，则称为零矩阵，记作0 3.同型矩阵

矩阵A?(aij)m?n,，B?(bij)s?t,中如果m?s,n?t,则称A与B是同型矩阵

4.矩阵相等

同型矩阵A?B?aij?bij(?i,j),即对应的元素都相等 1. 方阵的行列式对于方阵A?(aij)其元素可构造n阶行列式

a11A?a21...a12...a1na22...a2n由A?B,得不到A?B

...........annan1an2(二)几类特殊方阵

1.单位矩阵主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n阶段方阵，称为n阶单位矩阵，记为E EA?AE?A;A0?E 2.对称矩阵

设A是n阶矩阵，如AT?A,即aij?aji(?i,j)