§5.1 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 加法 求两个向量和的运算 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 求a与b的相反向量减法 －b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 求实数λ与向量a的数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，积的运算 λa与a的方向相同； λ(μa)＝(λμ)a；
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当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0
3.向量共线定理
(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2．如何理解数乘向量λa.
提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
→→
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．( √ ) 题组二 教材改编
→→→→
2．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示)
答案 b－a －a－b
2
→→→→
解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，
→→→→→
BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
→→→→
3．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2OA＋OC＝2OD＋OB，则四边形ABCD的形状为________． 答案 梯形
→→→→
解析 ∵2OA＋OC＝2OD＋OB， →→→→→→∴2(OA－OD)＝OB－OC，即2DA＝CB， →→→1→∴DA∥CB，且|DA|＝|CB|，
2∴四边形ABCD是梯形． 题组三 易错自纠
4．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件． 5．(多选)下列四个命题中，错误的是( ) A．若a∥b，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a∥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a＝b，则|a|＝|b|
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B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
答案 ABC
6．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案
2
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a
?λ＝μ，?1
＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则?解得λ＝μ＝.
2??1＝2μ，
→1→→→→→→
7．在△ABC中，点E，F满足AE＝AB，CF＝2FA，若EF＝xAB＋yAC，则x＋y＝ _____.
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答案 － 6
1→1→→→→
解析 依题意有EF＝EA＋AF＝－AB＋AC，
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所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
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平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
→→
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 答案 ACD
解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
→→→→→→
B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为
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平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故选ACD.
2．若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0， 假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D
解析 ①②③均为假命题． 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．
平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( A．a⊥b
B．|a|＝|b|
) 5
5.1 平面向量的概念及线性运算-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
