第2课时 综合法与分析法
学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．(易混点)2.会利用综合法和分析法证明一些简单的不等式．(重点、难点)
教材整理 分析法与综合法 阅读教材P17～P18，完成下列问题． 1．分析法
从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
2．综合法
从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，这种证明不等式的方法称为综合法．
其思路是“由因寻果”，即从“已知”推导出已知的“性质”，从而逐步推向“未知”．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法与综合法都是直接证明命题的方法. (2)分析法是由结论推向已知的过程. (3)综合法的特点是“由因寻果”.
( ) ( ) ( )
[解析] 根据分析法与综合法的特点知(1)正确，(2)中，分析法是从结论入手，寻找使它成立的充分条件，而不是由结论推向已知，故错误．(3)正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
用综合法证明不等式 b2c2＋c2a2＋a2b2【例1】 已知a，b，c是正数，求证：≥abc.
a＋b＋c[精彩点拨] 由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明bc＋ca＋ab≥abc(a＋b＋c)，利用x＋y≥2xy可证．或将原不等式变形为＋[自主解答] 法一：∵a，b，c是正数，
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bcacab＋≥a＋b＋c后，再进行证明． abc - 1 -
∴bc＋ca≥2abc，bc＋ab≥2abc，ca＋ab≥2abc. ∴2(bc＋ca＋ab)≥2(abc＋abc＋abc)， 即bc＋ca＋ab≥abc(a＋b＋c)． 又a＋b＋c>0，
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b2c2＋c2a2＋a2b2∴≥abc.
a＋b＋c法二：∵a，b，c是正数， ∴
bcac＋≥2abbcac·＝2c. ab同理＋
acababbc≥2a，＋≥2b， bccabc?
?bcacab?∴2?＋＋?≥2(a＋b＋c)． ?a22
又a>0，b>0，c>0，
∴bc＋ac＋ab≥abc(a＋b＋c)．
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b2c2＋c2a2＋a2b2
故≥abc.
a＋b＋c
1．运用不等式的性质或已证明的不等式时，要注意它们各自成立的条件，正确推理． 2．综合法证明不等式，常将不等式的两端进行合理的等价变形，如恰当的组合、拆项、匹配等，便于应用某些重要的不等式．
1．已知a>0，b>0，c>0，且abc＝2.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)>82. [证明] ∵a>0，b>0，c>0，
∴1＋a≥2a，当且仅当a＝1时，取等号； 1＋b≥2b，当且仅当b＝1时，取等号； 1＋c≥2c，当且仅当c＝1时，取等号． ∵abc＝2，
∴a，b，c不能同时取1， ∴“＝”不同时成立．
∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)>8abc＝82， 即(1＋a)(1＋b)(1＋c)>82.
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【例2】 设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： (1)b－ac>0；(2)b－ac<3a.
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分析法证明不等式 [精彩点拨] 根据题目特点，利用分析法寻找结论成立的充分条件． [自主解答] (1)∵a>b>c且a＋b＋c＝0， ∴a>0，c<0，ac<0， 故b－ac>0.
(2)欲证b－ac<3a， 只需证b－ac<3a. 因为c＝－(a＋b)，
只要证明b＋a(a＋b)<3a成立． 也就是(a－b)(2a＋b)>0， 即证(a－b)(a－c)>0. ∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0， ∴(a－b)(a－c)>0成立． 从而b－ac<3a成立．
1．此题证明的关键是在两边非负的条件下乘方去根号．
2．分析法是寻找结论成立的充分条件，对于含有无理不等式等问题的证明，采用分析法是常用方法．
2．已知a，b，c均为正数，且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3. [证明] ∵a，b，c均为正数，且ab＋bc＋ca＝1. 要证明a＋b＋c≥3， 只需证明(a＋b＋c)≥3，
即a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 只要证明a＋b＋c≥1，(*) 又a＋b＋c≥ab＋bc＋ca＝1，
因此(*)成立，故原不等式a＋b＋c≥3成立.
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高中数学第1章不等关系与基本不等式4不等式的证明第2课时综合法与分析法学案北师大版选修4_5
